Упр.751 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Все рёбра тетраэдра $$ABCD$$ равны друг другу, $$D_1$$ — проекция точки $$D$$ на плоскость $$ABC$$. Перпендикулярны ли векторы:

а) $$D_1B$$ и $$D_1D$$;
б) $$DD_1$$ и $$BC$$;
в) $$DA$$ и $$BC$$;
г) $$D_1B$$ и $$DC$$?

Подробный ответ

Так как $$D_1$$ — проекция точки $$D$$ на плоскость $$ABC$$, то $$DD_1 \perp (ABC)$$, а значит, $$DD_1$$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $$ABC$$.

Рассмотрим каждый случай.

$$\overrightarrow{D_1B}$$ и $$\overrightarrow{D_1D}$$.
Вектор $$\overrightarrow{D_1D}$$ направлен вдоль прямой $$D_1D$$, а вектор $$\overrightarrow{D_1B}$$ — вдоль прямой $$D_1B$$. Поскольку $$D_1B \subset (ABC)$$, то $$D_1D \perp D_1B$$.
$$\overrightarrow{DD_1}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$.
Прямая $$DD_1$$ перпендикулярна плоскости $$ABC$$, значит, она перпендикулярна прямой $$BC$$, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $$\overrightarrow{DD_1} \perp \overrightarrow{BC}$$.
$$\overrightarrow{DA}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$.
Так как тетраэдр правильный, то его вершина $$D$$ проектируется в центр равностороннего треугольника $$ABC$$. Поэтому прямая $$DD_1$$ проходит через центр треугольника $$ABC$$, а значит, совпадает с его высотой, проведённой из вершины $$A$$. Тогда $$DD_1 \perp BC$$ и $$AM \perp BC$$, где $$AM$$ — высота треугольника $$ABC$$.
Поскольку через точку $$D$$ и точку $$A$$ проходит прямая $$DA$$, лежащая в плоскости, содержащей высоту $$AM$$ и перпендикулярную $$BC$$, получаем $$DA \perp BC$$.
$$\overrightarrow{D_1B}$$ и $$\overrightarrow{DC}$$.
Эти векторы не перпендикулярны. Если бы $$DC \perp D_1B$$, то по теореме, обратной теореме о трёх перпендикулярах, из перпендикулярности проекции $$CD_1$$ прямой $$D_1B$$ следовало бы $$CD \perp D_1B$$. Но $$CD_1$$ и $$D_1B$$ — медианы правильного треугольника $$ABC$$, а такие прямые не перпендикулярны.

Ответ: а) да; б) да; в) да; г) нет.