Упр.751 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Bce ребра тетраэдра ABCD равны друг другу, D1 — проекция точки D на плоскость ABC. Перпендикулярны ли векторы: а) D1B и D1D; б) DD1 и ВС; в) DA и ВС; г) D1B и DC7

Подробный ответ

Так как $$D_1$$ — проекция точки $$D$$ на плоскость $$ABC$$, то $$DD_1 \perp (ABC)$$. Следовательно, прямая $$DD_1$$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $$ABC$$.

а) Векторы $$\overrightarrow{D_1D}$$ и $$\overrightarrow{D_1B}$$ являются направляющими векторами прямых $$D_1D$$ и $$D_1B$$ соответственно. Поскольку $$D_1B \subset (ABC)$$, а $$D_1D \perp (ABC)$$, то

$$D_1B \perp D_1D.$$

Значит, $$\overrightarrow{D_1B} \perp \overrightarrow{D_1D}$$.

б) Вектор $$\overrightarrow{DD_1}$$ — направляющий вектор прямой $$DD_1$$, а вектор $$\overrightarrow{BC}$$ — направляющий вектор прямой $$BC$$. Так как $$BC \subset (ABC)$$ и $$DD_1 \perp (ABC)$$, то

$$DD_1 \perp BC,$$

следовательно, $$\overrightarrow{DD_1} \perp \overrightarrow{BC}$$.

в) Тетраэдр $$ABCD$$ правильный, значит, его вершина $$D$$ проектируется в центр равностороннего треугольника $$ABC$$. Поэтому прямая $$DD_1$$ проходит через центр треугольника $$ABC$$. Если провести в $$ABC$$ высоту $$AM$$, то она также проходит через центр треугольника, а значит, $$DD_1$$ и $$AM$$ пересекаются в точке $$D_1$$. При этом

$$AM \perp BC,$$

и, поскольку $$DD_1 \perp (ABC)$$, имеем также

$$DD_1 \perp BC.$$

Итак, две пересекающиеся прямые $$AM$$ и $$DD_1$$ перпендикулярны прямой $$BC$$, значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая $$BC$$ перпендикулярна плоскости, содержащей $$AM$$ и $$DD_1$$. В частности, $$BC \perp DA$$. Следовательно,

$$\overrightarrow{DA} \perp \overrightarrow{BC}.$$

г) Прямые $$DC$$ и $$D_1B$$ не перпендикулярны. Действительно, если бы $$DC \perp D_1B$$, то по теореме, обратной теореме о трёх перпендикулярах, было бы $$CD \perp D_1B$$. Но $$CD$$ и $$D_1B$$ — это прямые, содержащие медианы правильного треугольника, а такие прямые не перпендикулярны.