Упр.750 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В тетраэдре $$DABC$$ $$DA=DB=DC$$, $$\angle ADB=45^\circ$$, $$\angle BDC=60^\circ$$. Вычислите угол между векторами: а) $$DA$$ и $$BD$$; б) $$DB$$ и $$CB$$; в) $$BD$$ и $$BA$$.

а) Угол между векторами $$\overrightarrow{DA}$$ и $$\overrightarrow{BD}$$ равен углу между лучами $$DA$$ и $$DB$$, то есть

$$\angle ADB=45^\circ.$$

Но $$\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{DB}$$, значит искомый угол равен

$$180^\circ-45^\circ=135^\circ.$$

б) Рассмотрим треугольник $$DBC$$. Так как $$DB=DC$$, то он равнобедренный, следовательно,

$$\angle DBC=\angle BCD.$$

По условию $$\angle BDC=60^\circ$$, поэтому

$$\angle DBC+\angle BCD=180^\circ-60^\circ=120^\circ,$$
$$2\angle DBC=120^\circ,$$
$$\angle DBC=60^\circ.$$

Угол между векторами $$\overrightarrow{DB}$$ и $$\overrightarrow{CB}$$ равен углу между лучами $$BD$$ и $$BC$$, значит он равен $$60^\circ$$.

в) Рассмотрим треугольник $$DBA$$. Так как $$DA=DB$$, он равнобедренный, а его вершины̆ угол

$$\angle ADB=45^\circ.$$

Тогда углы при основании равны:

$$\angle DAB=\angle DBA=\frac{180^\circ-45^\circ}{2}=\frac{135^\circ}{2}=67^\circ 30′.$$

Следовательно, угол между векторами $$\overrightarrow{BD}$$ и $$\overrightarrow{BA}$$ равен $$67^\circ 30′.$$

Ответ: а) $$135^\circ$$; б) $$60^\circ$$; в) $$67^\circ 30′.$$