Упр.75 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- б) Докажите, что плоскость, проходящая через середины $$E$$, $$O$$ и $$F$$ отрезков $$LM$$, $$MA$$ и $$MK$$, параллельна плоскости $$LKA$$. Найдите площадь треугольника $$EOF$$, если площадь треугольника $$LKA$$ равна $$24\ \text{см}^2$$.
Пусть $$A$$ — середина ребра $$MN$$, а точки $$E, O, F$$ — середины отрезков $$LM, MA, MK$$ соответственно.
Рассмотрим треугольники $$KLM$$, $$KMA$$ и $$LMA$$.
В треугольнике $$KLM$$ отрезок $$EF$$ соединяет середины сторон $$LM$$ и $$MK$$, значит, $$EF$$ — средняя линия и $$EF \parallel KL$$.
В треугольнике $$KMA$$ отрезок $$OF$$ соединяет середины сторон $$MA$$ и $$MK$$, значит, $$OF$$ — средняя линия и $$OF \parallel KA$$.
В треугольнике $$LMA$$ отрезок $$EO$$ соединяет середины сторон $$LM$$ и $$MA$$, значит, $$EO$$ — средняя линия и $$EO \parallel LA$$.
Следовательно, в плоскости $$EOF$$ лежат прямые, соответственно параллельные прямым $$KL$$, $$KA$$ и $$LA$$ плоскости $$KLA$$. По признаку параллельности плоскостей получаем:
$$\text{плоскость } EOF \parallel \text{плоскости } KLA.$$
Так как $$E, O, F$$ — середины сторон треугольников, то треугольник $$EOF$$ подобен треугольнику $$KLA$$ с коэффициентом подобия
$$k=\frac{1}{2}.$$
Тогда отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:
$$\frac{S_{EOF}}{S_{KLA}}=k^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}.$$
При $$S_{KLA}=24\text{ см}^2$$ получаем
$$S_{EOF}=24\cdot \frac{1}{4}=6\text{ см}^2.$$
Ответ: $$6\text{ см}^2$$.
