Упр.749 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны векторы $$\vec{a}\,(-1; 5; 3)$$, $$\vec{b}\,(3; 0; 2)$$, $$\vec{c}\,(0{,}5; -3; 4)$$ и $$\vec{d}\,(2; 1; 0)$$. Вычислите: а) $$ab$$; б) $$ac$$; в) $$dd$$; г) $$(a+b+c)d$$; д) $$(a-b)(c-d)$$.

Скалярное произведение векторов находим по формуле

$$\vec x\cdot \vec y=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.$$

Даны векторы $$\vec a=(-1;5;3),\ \vec b=(3;0;2),\ \vec c=\left(0{,}5;-3;4\right),\ \vec d=(2;1;0).$$

Вычислим по пунктам:

1. $$\vec a\cdot \vec b=(-1)\cdot 3+5\cdot 0+3\cdot 2=-3+0+6=3.$$

2. $$\vec a\cdot \vec c=(-1)\cdot 0{,}5+5\cdot(-3)+3\cdot 4=-0{,}5-15+12=-3{,}5.$$

3. $$\vec d\cdot \vec d=2^2+1^2+0^2=4+1=5.$$

4. Сначала найдём сумму векторов:

   $$\vec a+\vec b+\vec c=\left(-1+3+0{,}5;\ 5+0-3;\ 3+2+4\right)=\left(2{,}5;\ 2;\ 9\right).$$

   Тогда

   $$(\vec a+\vec b+\vec c)\cdot \vec d =2{,}5\cdot 2+2\cdot 1+9\cdot 0 =5+2=7.$$

5. Найдём разности:

   $$\vec a-\vec b=(-1-3;\ 5-0;\ 3-2)=(-4;\ 5;\ 1),$$

   $$\vec c-\vec d=\left(0{,}5-2;\ -3-1;\ 4-0\right)=(-1{,}5;\ -4;\ 4).$$

   Тогда

   $$(\vec a-\vec b)\cdot(\vec c-\vec d) =(-4)\cdot(-1{,}5)+5\cdot(-4)+1\cdot 4 =6-20+4=-10.$$

Ответ: а) $$3$$; б) $$-3{,}5$$; в) $$5$$; г) $$7$$; д) $$-10$$.