Упр.748 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении $$3:1$$, считая от вершины.

Обозначим через $$E_1, E_2, E_3, E_4$$ середины рёбер $$BC, AD, AB, DC$$ соответственно. Тогда $$DE_2$$ и $$BE_1$$ — медианы треугольника $$ABD$$, а значит, их точка пересечения $$M_1$$ является центроидом этого треугольника. Поэтому

$$DM_1=\frac{2}{3}DE_2,\qquad BM_1=\frac{2}{3}BE_1.$$

Аналогично, в треугольнике $$DBC$$ отрезки $$DE_4$$ и $$CE_1$$ пересекаются в точке $$M_2$$, причём

$$DM_2=\frac{2}{3}DE_4,\qquad CM_2=\frac{2}{3}CE_1.$$

Так как $$E_2E_3$$ и $$E_4E_1$$ — средние линии соответствующих граней, то

$$E_2E_3=\frac{1}{2}DB,\qquad E_4E_1=\frac{1}{2}DB.$$

Следовательно, четырёхугольник $$E_2E_3E_1E_4$$ — параллелограмм, а его диагонали пересекаются в точке $$O$$ и делятся пополам. Значит, $$O$$ — середина отрезка $$E_3E_4$$.

Теперь найдём вектор $$\overrightarrow{DO}$$:

$$\overrightarrow{DO} = \overrightarrow{DE_2}+\overrightarrow{E_2O} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{E_2E_1}.$$

Но

$$\overrightarrow{E_2E_1} = \overrightarrow{E_2D}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE_1} = \overrightarrow{E_2A}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE_1}.$$

Складывая эти равенства, получаем

$$2\overrightarrow{E_2E_1} = \overrightarrow{E_2D}+\overrightarrow{E_2A}+\overrightarrow{CE_1}+\overrightarrow{BE_1}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AB},$$

то есть

$$\overrightarrow{E_2E_1}=\frac{\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AB}}{2}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{DO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DA} + \frac{1}{2}\cdot \frac{\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AB}}{2} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DA} + \frac{1}{4}\overrightarrow{DC} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}.$$

Так как

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA},\qquad \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC},$$

то

$$\overrightarrow{DO} = \frac{1}{4}\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\right).$$

Теперь рассмотрим медиану $$DM_1$$ треугольника $$ABD$$. Так как $$E_3$$ — середина $$AB$$, то

$$\overrightarrow{AM_1}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AE_4} = \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right),$$

и после преобразований получаем

$$\overrightarrow{DM_1} = \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\right).$$

Сравнивая с найденным выражением для $$\overrightarrow{DO}$$, имеем

$$\overrightarrow{DO}=\frac{3}{4}\overrightarrow{DM_1}.$$

Значит, точки $$D, O, M_1$$ лежат на одной прямой, причём

$$DO:OM_1=3:1.$$

Аналогично доказывается, что та же точка $$O$$ лежит на каждой медиане тетраэдра и делит её в отношении $$3:1$$, считая от вершины.

Ответ: медианы тетраэдра пересекаются в одной точке; эта точка делит каждую медиану в отношении $$3:1$$ от вершины.