Упр.747 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Вершины треугольника ABC расположены по одну сторону от плоскости а и находятся от этой плоскости на расстояниях 4 дм, 5 дм и 9 дм. Найдите расстояние от точки пересечения медиан треугольника до плоскости а.

Подробный ответ

Обозначим через $$A_1, B_1, C_1$$ основания перпендикуляров, опущенных из точек $$A, B, C$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда

$$AA_1=4\text{ дм},\quad BB_1=5\text{ дм},\quad CC_1=9\text{ дм}.$$

Пусть $$M$$ — точка пересечения медиан треугольника $$ABC$$. Тогда её расстояние до плоскости $$\alpha$$ равно расстоянию от точки $$M$$ до плоскости $$A_1B_1C_1$$, то есть нужно найти координату точки $$M$$ по направлению перпендикуляров к плоскости.

Так как расстояния до плоскости у вершин треугольника равны $$4$$, $$5$$ и $$9$$, то для точки пересечения медиан среднее расстояние равно среднему арифметическому этих чисел:

$$ d(M,\alpha)=\frac{AA_1+BB_1+CC_1}{3} =\frac{4+5+9}{3} =\frac{18}{3}=6\text{ дм}. $$