Упр.743 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

На оси ординат найдите точку, равноудалённую от точек $$A(13; 2; -1)$$ и $$B(-15; 7; -18)$$.

Пусть искомая точка на оси ординат имеет вид $$D(0;y;0).$$

Так как точка $$D$$ равноудалена от точек $$A(13;2;-1)$$ и $$B(-15;7;-18),$$ то

$$DA=DB.$$

По формуле расстояния между точками в пространстве получаем:

$$DA=\sqrt{(13-0)^2+(2-y)^2+(-1-0)^2}=\sqrt{169+(2-y)^2+1}=\sqrt{(2-y)^2+170},$$

$$DB=\sqrt{(-15-0)^2+(7-y)^2+(-18-0)^2}=\sqrt{225+(7-y)^2+324}=\sqrt{(7-y)^2+549}.$$

Приравняем расстояния:

$$\sqrt{(2-y)^2+170}=\sqrt{(7-y)^2+549}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$(2-y)^2+170=(7-y)^2+549.$$

Раскроем скобки:

$$y^2-4y+4+170=y^2-14y+49+549.$$

$$-4y+174=-14y+598.$$

$$10y=424,\qquad y=42{,}4.$$

Следовательно, искомая точка:

$$D(0;42{,}4;0).$$

Ответ: $$D(0;42{,}4;0).$$