Упр.74 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Через точку пересечения медиан грани $$BCD$$ тетраэдра $$ABCD$$ проведена плоскость, параллельная грани $$ABC$$. а) Докажите, что сечение тетраэдра этой плоскостью есть треугольник, подобный треугольнику $$ABC$$. б) Найдите отношение площадей сечения и треугольника $$ABC$$.
Пусть $$O$$ — точка пересечения медиан треугольника $$BCD$$. Через точку $$O$$ проведём прямую $$RQ$$ так, что $$RQ \parallel BC$$, где $$R \in BD$$, $$Q \in CD$$. Затем в треугольнике $$ACD$$ через точку $$Q$$ проведём прямую $$PQ \parallel AC$$, где $$P \in AD$$. Тогда плоскость $$PRQ$$ параллельна плоскости $$ABC$$, а сечение тетраэдра этой плоскостью — треугольник $$PRQ$$.
Докажем, что $$\triangle PRQ \sim \triangle ABC$$.
Так как $$PQ \parallel AC$$, то в треугольнике $$ADC$$ имеем
$$\angle PQR=\angle ACB,\qquad \angle PRQ=\angle ABC.$$
Следовательно, третий угол тоже равен:
$$\angle RPQ=\angle BAC.$$
Значит, $$\triangle PRQ \sim \triangle ABC$$.
Найдём коэффициент подобия. Точка $$O$$ — центр тяжести треугольника $$BCD$$, поэтому она делит медиану $$BN$$ в отношении $$2:1$$, считая от вершины $$B$$. Так как $$RQ \parallel BC$$, то в треугольнике $$BDC$$ прямая, проходящая через центр тяжести параллельно стороне $$BC$$, отсекает от медиан отрезок, равный $$\frac{2}{3}$$ соответствующей стороны. Поэтому
$$\frac{PR}{AB}=\frac{PQ}{AC}=\frac{RQ}{BC}=\frac{2}{3}.$$
Итак, коэффициент подобия равен $$k=\frac{2}{3}$$.
Тогда отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
$$\frac{S_{PRQ}}{S_{ABC}}=k^2=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}.$$
Ответ: а) $$\triangle PRQ \sim \triangle ABC$$; б) $$\dfrac{S_{PRQ}}{S_{ABC}}=\dfrac{4}{9}$$.
