Упр.739 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите координаты единичных векторов, сонаправленных соответственно с векторами $$\vec{a}\{2; 1; -2\}$$ и $$\vec{b}\{1; 3; 0\}$$.

Пусть $$\vec e=(x,y,z)$$ — единичный вектор, сонаправленный с $$\vec a=(2,1,-2)$$. Тогда координаты вектора пропорциональны координатам $$\vec a$$:

$$\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-2}$$

Отсюда можно положить

$$x=2t,\quad y=t,\quad z=-2t.$$

Так как $$\vec e$$ — единичный вектор, то

$$|\vec e|=1,\qquad \sqrt{x^2+y^2+z^2}=1.$$

Подставим:

$$\sqrt{(2t)^2+t^2+(-2t)^2}=1$$

$$\sqrt{9t^2}=1$$

$$3|t|=1.$$

Так как $$\vec e$$ и $$\vec a$$ сонаправлены, то $$t>0$$, значит

$$t=\frac13.$$

Следовательно,

$$\vec e=\left(\frac23,\frac13,-\frac23\right).$$

Теперь пусть $$\vec e=(x,y,z)$$ — единичный вектор, сонаправленный с $$\vec b=(1,3,0)$$. Тогда

$$\frac{x}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z}{0}.$$

Так как у вектора $$\vec b$$ третья координата равна нулю, то и у сонаправленного с ним вектора $$z=0$$. Пусть

$$x=t,\quad y=3t,\quad z=0.$$

Из условия единичной длины:

$$\sqrt{x^2+y^2+z^2}=1$$

$$\sqrt{t^2+9t^2}=1$$

$$\sqrt{10t^2}=1$$

$$\sqrt{10}\,|t|=1.$$

Так как векторы сонаправлены, то $$t>0$$, значит

$$t=\frac{1}{\sqrt{10}}.$$

Следовательно,

$$\vec e=\left(\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}},0\right).$$

Ответ: а) $$\left(\frac23,\frac13,-\frac23\right)$$; б) $$\left(\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}},0\right)$$.