Упр.739 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите координаты единичных векторов, сонаправленных соответственно с векторами а {2; 1; -2} и b {1; 3; 0}.

Пусть $$\vec e(x,y,z)$$ — единичный вектор, сонаправленный с $$\vec a=(2,1,-2)$$.

Так как векторы сонаправлены, то их координаты пропорциональны:

$$\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-2}.$$

Отсюда можно положить

$$x=2t,\quad y=t,\quad z=-2t.$$

Так как $$\vec e$$ — единичный вектор, то

$$|\vec e|=1,$$

то есть

$$\sqrt{x^2+y^2+z^2}=1.$$

Подставим выражения через $$t$$:

$$\sqrt{(2t)^2+t^2+(-2t)^2}=1,$$

$$\sqrt{4t^2+t^2+4t^2}=1,$$

$$\sqrt{9t^2}=1,$$

$$3|t|=1,$$

$$|t|=\frac13.$$

Так как $$\vec e$$ и $$\vec a$$ сонаправлены, берём $$t>0$$, значит $$t=\frac13$$. Тогда

$$\vec e=\left(\frac23,\frac13,-\frac23\right).$$

Теперь рассмотрим вектор $$\vec b=(1,3,0)$$. Пусть $$\vec e(x,y,z)$$ — единичный вектор, сонаправленный с ним.

Тогда

$$\frac{x}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z}{0}.$$

Из последнего равенства получаем $$z=0$$, а из первых двух:

$$y=3x.$$

Так как $$|\vec e|=1$$, то

$$\sqrt{x^2+y^2}=1.$$

Подставим $$y=3x$$:

$$\sqrt{x^2+9x^2}=1,$$

$$\sqrt{10x^2}=1,$$

$$\sqrt{10}\,|x|=1,$$

$$|x|=\frac{1}{\sqrt{10}}.$$

Поскольку вектор должен быть сонаправлен с $$\vec b$$, берём положительное значение:

$$x=\frac{1}{\sqrt{10}},\quad y=\frac{3}{\sqrt{10}},\quad z=0.$$

Следовательно,

$$\vec e=\left(\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}},0\right).$$

Ответ

$$\left(\frac23,\frac13,-\frac23\right),\ \left(\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}},0\right).$$