Упр.737 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Даны координаты четырех вершин параллелепипеда ABCDAiBiCiDi: A (3; 0; 2), B (2; 4; 5), A1 (5; 3; 1), D (7; 1; 2). Найдите координаты остальных вершин.

В параллелепипеде все рёбра, выходящие из одной вершины, задают три взаимно параллельных и равных вектора. Поэтому

$$\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{DD_1}=\overrightarrow{CC_1}.$$

Найдём вектор

$$\overrightarrow{AA_1}=(5-3,\;3-0,\;1-2)=(2,\;3,\;-1).$$

Тогда координаты остальных вершин получаем прибавлением этого вектора к соответствующим вершинам основания.

1) Для точки $$B_1$$:

$$B_1=B+\overrightarrow{AA_1}=(2+2,\;4+3,\;5-1)=(4,\;7,\;4).$$

2) Для точки $$D_1$$:

$$D_1=D+\overrightarrow{AA_1}=(7+2,\;1+3,\;2-1)=(9,\;4,\;1).$$

3) В основании параллелепипеда противоположные рёбра равны и параллельны, значит

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=(7-3,\;1-0,\;2-2)=(4,\;1,\;0).$$

Тогда

$$C=B+\overrightarrow{BC}=(2+4,\;4+1,\;5+0)=(6,\;5,\;5).$$

4) Для точки $$C_1$$:

$$C_1=C+\overrightarrow{AA_1}=(6+2,\;5+3,\;5-1)=(8,\;8,\;4).$$

Проверка: вектор $$\overrightarrow{BB_1}=(4-2,\;7-4,\;4-5)=(2,\;3,\;-1)$$ совпадает с $$\overrightarrow{AA_1}$$, что верно.

Ответ

$$B_1(4;\,7;\,4),\quad C(6;\,5;\,5),\quad D_1(9;\,4;\,1),\quad C_1(8;\,8;\,4).$$