Упр.737 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны координаты четырех вершин параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$: $$A(3; 0; 2)$$, $$B(2; 4; 5)$$, $$A_1(5; 3; 1)$$, $$D(7; 1; 2)$$. Найдите координаты остальных вершин.

Так как все грани параллелепипеда — параллелограммы, то противоположные рёбра равны и параллельны. Поэтому можно находить неизвестные вершины по равенству соответствующих векторов.

Найдём сначала вектор $$\overrightarrow{AA_1}$$:

$$\overrightarrow{AA_1}=(5-3,\;3-0,\;1-2)=(2,\;3,\;-1).$$

Тогда для вершины $$B_1$$ имеем

$$\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{AA_1}.$$

Следовательно,

$$B_1=(2+2,\;4+3,\;5-1)=(4,\;7,\;4).$$

Аналогично для вершины $$D_1$$:

$$\overrightarrow{DD_1}=\overrightarrow{AA_1}.$$

Значит,

$$D_1=(7+2,\;1+3,\;2-1)=(9,\;4,\;1).$$

Теперь найдём вершину $$C$$ из равенства

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.$$

Вычислим

$$\overrightarrow{AD}=(7-3,\;1-0,\;2-2)=(4,\;1,\;0).$$

Тогда

$$C=(2+4,\;4+1,\;5+0)=(6,\;5,\;5).$$

Осталась вершина $$C_1$$. Так как

$$\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{AA_1},$$

то

$$C_1=(6+2,\;5+3,\;5-1)=(8,\;8,\;4).$$

Ответ: $$B_1(4;7;4),\ D_1(9;4;1),\ C(6;5;5),\ C_1(8;8;4).$$