Упр.735 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Даны точки А (3; 5; 4), B (4; 6; 5), C (6; -2; 1) и D (5; -3; 0). Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Подробный ответ

Найдём координаты векторов сторон четырёхугольника:

$$\overrightarrow{AB}=(4-3;\,6-5;\,5-4)=(1;\,1;\,1),$$
$$\overrightarrow{CD}=(5-6;\,-3-(-2);\;0-1)=(-1;\,-1;\,-1),$$
$$\overrightarrow{AD}=(5-3;\,-3-5;\,0-4)=(2;\,-8;\,-4),$$
$$\overrightarrow{BC}=(6-4;\,-2-6;\,1-5)=(2;\,-8;\,-4).$$

Векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CD}$$ коллинеарны, так как

$$\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}.$$

Векторы $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$ равны, значит, они тоже коллинеарны:

$$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}.$$

Следовательно, противоположные стороны четырёхугольника попарно параллельны. По определению, $$ABCD$$ — параллелограмм.