Упр.735 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны точки $$A(3; 5; 4)$$, $$B(4; 6; 5)$$, $$C(6; -2; 1)$$ и $$D(5; -3; 0)$$. Докажите, что $$ABCD$$ — параллелограмм.

Чтобы доказать, что $$ABCD$$ — параллелограмм, достаточно показать, что противоположные стороны попарно параллельны.

Найдём координаты векторов:

$$\overrightarrow{AB}=(4-3,\;6-5,\;5-4)=(1,1,1)$$

$$\overrightarrow{CD}=(5-6,\;-3-(-2),\;0-1)=(-1,-1,-1)$$

$$\overrightarrow{AD}=(5-3,\;-3-5,\;0-4)=(2,-8,-4)$$

$$\overrightarrow{BC}=(6-4,\;-2-6,\;1-5)=(2,-8,-4)$$

Векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CD}$$ коллинеарны, так как $$\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$$. Также $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$ равны, значит, они коллинеарны.

Следовательно, $$AB \parallel CD$$ и $$AD \parallel BC$$. По определению параллелограмма, $$ABCD$$ — параллелограмм.

Ответ: $$ABCD$$ — параллелограмм.