Упр.734 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Компланарны ли векторы: а) $$a\{-1; 2; 3\}$$, $$i+j$$ и $$i-k$$; б) $$b\{2; 1; 1{,}5\}$$, $$i+j+k$$ и $$i-j$$; в) $$a\{1; 1; 1\}$$, $$b\{1; -1; 2\}$$ и $$c\{2; 3; -1\}$$?

Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Проверим это для каждого пункта.

1. $$\vec a=(-1,2,3),\quad \vec i+\vec j=(1,1,0),\quad \vec i-\vec k=(1,0,-1).$$

   Составим определитель:

   $$\begin{vmatrix} -1 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} =-1\cdot(1\cdot(-1)-0\cdot 0)-2\cdot(1\cdot(-1)-0\cdot 1)+3\cdot(1\cdot 0-1\cdot 1)=0.$$

   Следовательно, векторы компланарны.

2. $$\vec b=(2,1,1{,}5),\quad \vec i+\vec j+\vec k=(1,1,1),\quad \vec i-\vec j=(1,-1,0).$$

   Составим определитель:

   $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1{,}5\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} =2\cdot(1\cdot 0-1\cdot(-1))-1\cdot(1\cdot 0-1\cdot 1)+1{,}5\cdot(1\cdot(-1)-1\cdot 1)=0.$$

   Следовательно, векторы компланарны.

3. $$\vec a=(1,1,1),\quad \vec b=(1,-1,2),\quad \vec c=(2,3,-1).$$

   Вычислим смешанное произведение:

   $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 2\\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} =1\cdot((-1)\cdot(-1)-2\cdot 3)-1\cdot(1\cdot(-1)-2\cdot 2)+1\cdot(1\cdot 3-(-1)\cdot 2)=5\neq 0.$$

   Следовательно, векторы не компланарны.

Ответ: а) да; б) да; в) нет.