Упр.734 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Компланарны ли векторы: а) a {-1; 2; 3}, i + j и i — k; б) b {2; 1; 1,5}, i + j + k и i — j; в) a {1; 1; 1}, b {1; -1; 2} и с {2; 3; -1}?

Подробный ответ

Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

а) Запишем данные векторы в координатах:

$$\vec a=(-1,2,3),\quad \vec i+\vec j=(1,1,0),\quad \vec i-\vec k=(1,0,-1).$$

Вычислим смешанное произведение:

$$ \begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = -1\cdot(1\cdot(-1)-0\cdot 0)-2\cdot(1\cdot(-1)-0\cdot 1)+3\cdot(1\cdot 0-1\cdot 1) =1+2-3=0. $$

Следовательно, векторы компланарны.

б) Имеем:

$$\vec b=(2,1,1{,}5),\quad \vec i+\vec j+\vec k=(1,1,1),\quad \vec i-\vec j=(1,-1,0).$$

Найдём смешанное произведение:

$$ \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1{,}5 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} =2\cdot(1\cdot 0-1\cdot(-1))-1\cdot(1\cdot 0-1\cdot 1)+1{,}5\cdot(1\cdot(-1)-1\cdot 1) =2+1-3=0. $$

Значит, эти векторы тоже компланарны.

в) Запишем векторы:

$$\vec a=(1,1,1),\quad \vec b=(1,-1,2),\quad \vec c=(2,3,-1).$$

Вычислим смешанное произведение:

$$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} =1\cdot\bigl((-1)\cdot(-1)-2\cdot 3\bigr)-1\cdot\bigl(1\cdot(-1)-2\cdot 2\bigr)+1\cdot\bigl(1\cdot 3-(-1)\cdot 2\bigr) $$

$$ =1\cdot(1-6)-1\cdot(-1-4)+(3+2) =-5+5+5=5\neq 0. $$

Следовательно, векторы не компланарны.