Упр.730 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что при движении: а) окружность отображается на окружность того же радиуса; б) прямоугольный параллелепипед отображается на прямоугольный параллелепипед с теми же измерениями.
При движении сохраняются расстояния и углы, а значит, сохраняются длины отрезков и величины углов.
а)
Пусть окружность имеет центр $$O$$ и радиус $$R$$. При движении точка $$O$$ переходит в точку $$O_1$$, а любая точка $$A$$ окружности — в точку $$A_1$$.
Так как движение сохраняет расстояния, то
$$O_1A_1=OA=R.$$
Следовательно, все точки образа окружности находятся на одинаковом расстоянии $$R$$ от точки $$O_1$$. Значит, образ данной окружности — окружность с центром $$O_1$$ и тем же радиусом $$R$$.
б)
Пусть дан прямоугольный параллелепипед с рёбрами $$a$$, $$b$$ и $$c$$. При движении его вершины переходят в соответствующие точки, а рёбра — в равные им отрезки.
Так как движение сохраняет длины и углы, то:
- противоположные рёбра остаются параллельными и равными;
- смежные рёбра остаются перпендикулярными;
- длины трёх взаимно перпендикулярных рёбер не изменяются.
Значит, образ прямоугольного параллелепипеда снова является прямоугольным параллелепипедом, причём с теми же измерениями $$a$$, $$b$$ и $$c$$.
Ответ
а) Окружность при движении переходит в окружность того же радиуса.
б) Прямоугольный параллелепипед при движении переходит в прямоугольный параллелепипед с теми же измерениями.
