Упр.73 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В тетраэдре $$ABCD$$ точки $$M$$, $$N$$ и $$P$$ являются серединами рёбер $$AB$$, $$BC$$ и $$CD$$, $$AC=10\text{ см}$$, $$BD=12\text{ см}$$. Докажите, что плоскость $$MNP$$ проходит через середину $$K$$ ребра $$AD$$, и найдите периметр четырёхугольника, полученного при пересечении тетраэдра с плоскостью $$MNP$$.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$M$$ и $$N$$ — середины его сторон $$AB$$ и $$BC$$, то $$MN$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$. Следовательно,

$$MN \parallel AC.$$

Плоскость $$MNP$$ содержит прямую $$MN$$, параллельную плоскости $$ACD$$, так как $$AC \subset (ACD)$$. Значит, линия пересечения плоскостей $$MNP$$ и $$ACD$$ параллельна $$AC$$.

Но $$P$$ — середина ребра $$CD$$, поэтому в треугольнике $$ACD$$ прямая, проходящая через середину $$CD$$ и параллельная $$AC$$, является средней линией. Следовательно, линия пересечения плоскостей $$MNP$$ и $$ACD$$ проходит через середину $$Q$$ ребра $$AD$$ и

$$QP \parallel AC.$$

Итак, точка $$Q$$ — середина ребра $$AD$$, а отрезок $$MQ$$ — средняя линия треугольника $$ABD$$, поэтому

$$MQ \parallel BD,$$

так как $$M$$ и $$Q$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AD$$.

Аналогично, в треугольнике $$BCD$$ отрезок $$NP$$ — средняя линия, значит

$$NP \parallel BD.$$

Отсюда $$MQ \parallel NP$$ и $$MN \parallel QP$$, значит, четырёхугольник $$MNPQ$$ — параллелограмм.

Найдём его периметр. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому

$$P_{MNPQ}=2(MQ+QP).$$

Так как $$MQ$$ и $$NP$$ — средние линии треугольников $$ABD$$ и $$BCD$$, то

$$MQ=\frac{BD}{2}, \qquad QP=\frac{AC}{2}.$$

Тогда