Упр.729 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что при движении: а) параллельные прямые отображаются на параллельные прямые; б) параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости.

Пусть при движении точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ переходят в точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ соответственно.

а)

Пусть прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны и лежат в одной плоскости $$\alpha$$. Возьмём на них точки $$M$$ и $$N$$ так, чтобы прямая $$MN$$ пересекала обе прямые.

При движении углы сохраняются, значит

$$\angle 1=\angle 2.$$

Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых $$a$$ и $$b$$ и секущей $$MN$$. Следовательно, $$a\parallel b$$. После движения прямые $$a_1$$ и $$b_1$$ также лежат в одной плоскости и образуют равные накрест лежащие углы с соответствующей секущей, значит

$$a_1\parallel b_1.$$

Итак, параллельные прямые при движении переходят в параллельные прямые.

б)

Пусть плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны. Возьмём в плоскости $$\alpha$$ две пересекающиеся прямые $$a$$ и $$b$$, а в плоскости $$\beta$$ — две пересекающиеся прямые $$c$$ и $$d$$ так, что

$$a\parallel c,\qquad b\parallel d.$$

При движении параллельность прямых сохраняется, поэтому

$$a_1\parallel c_1,\qquad b_1\parallel d_1.$$

Кроме того, так как движение сохраняет пересечение и углы, то прямые $$a_1$$ и $$b_1$$ пересекаются, как и прямые $$c_1$$ и $$d_1$$. Значит, в плоскостях $$\alpha_1$$ и $$\beta_1$$, в которые перешли плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$, имеются соответственно пересекающиеся прямые $$a_1, b_1$$ и $$c_1, d_1$$, причем $$a_1\parallel c_1$$ и $$b_1\parallel d_1$$.

Следовательно, плоскости $$\alpha_1$$ и $$\beta_1$$ параллельны.

Ответ: при движении параллельные прямые переходят в параллельные прямые, а параллельные плоскости — в параллельные плоскости.