Упр.728 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что при движении: а) отрезок отображается на отрезок; б) угол отображается на равный ему угол.

а) Возьмём на отрезке $$AC$$ произвольную точку $$B$$. При движении она переходит в точку $$B_1$$. Тогда

$$AB+BC=AC.$$

Так как при движении расстояния сохраняются, то

$$A_1B_1=AB,\quad B_1C_1=BC,\quad A_1C_1=AC.$$

Следовательно,

$$A_1B_1+B_1C_1=A_1C_1.$$

Равенство в неравенстве треугольника возможно только тогда, когда точки $$A_1, B_1, C_1$$ лежат на одной прямой и точка $$B_1$$ находится между $$A_1$$ и $$C_1$$. Значит, образ отрезка $$AC$$ при движении есть отрезок $$A_1C_1$$.

б) Пусть на сторонах угла $$AOB$$ выбраны точки $$A$$ и $$B$$. При движении они переходят в точки $$A_1$$ и $$B_1$$, а вершина $$O$$ — в точку $$O_1$$. Тогда

$$OA=O_1A_1,\quad OB=O_1B_1,\quad AB=A_1B_1.$$

Следовательно, треугольники $$AOB$$ и $$A_1O_1B_1$$ равны по трём сторонам. Поэтому

$$\angle AOB=\angle A_1O_1B_1.$$

Если $$\angle AOB=180^\circ$$, то и $$\angle A_1O_1B_1=180^\circ$$. Значит, образ угла при движении — равный ему угол.