Упр.727 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что при движении: а) прямая отображается на прямую; б) плоскость отображается на плоскость.

Подробный ответ

а) Возьмём на прямой три точки $$A$$, $$B$$, $$C$$. При движении они перейдут в точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ соответственно, причём

$$AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad AC=A_1C_1.$$

Так как точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ лежат на одной прямой, то одна из них лежит между двумя другими. Поэтому, например, если $$B$$ лежит между $$A$$ и $$C$$, то

$$AC=AB+BC,$$

а значит,

$$A_1C_1=A_1B_1+B_1C_1.$$

Равенство в неравенстве треугольника возможно только тогда, когда точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ лежат на одной прямой. Следовательно, образ любой прямой при движении — прямая.

б) Возьмём в плоскости $$\alpha$$ две пересекающиеся прямые $$a$$ и $$b$$. При движении они перейдут в прямые $$a_1$$ и $$b_1$$, которые тоже пересекаются, так как движение сохраняет расстояния и, значит, сохраняет взаимное расположение прямых.

Через пересекающиеся прямые $$a_1$$ и $$b_1$$ проходит единственная плоскость $$\alpha_1$$. Покажем, что образ всей плоскости $$\alpha$$ лежит в $$\alpha_1$$.

Возьмём произвольную точку $$C\in\alpha$$. Проведём через неё прямую, пересекающую $$a$$ и $$b$$ в точках $$A$$ и $$B$$. Тогда точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ лежат в плоскости $$\alpha$$, а их образы $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ лежат соответственно на прямых $$a_1$$, $$b_1$$ и на образе прямой $$AB$$. По пункту а) образ прямой $$AB$$ — прямая, значит, точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ лежат в одной плоскости. Эта плоскость содержит прямые $$a_1$$ и $$b_1$$, следовательно, совпадает с $$\alpha_1$$.

Значит, любая точка плоскости $$\alpha$$ переходит в точку плоскости $$\alpha_1$$. Итак, при движении плоскость отображается на плоскость.