Упр.727 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что при движении: а) прямая отображается на прямую; б) плоскость отображается на плоскость.

Подробный ответ

а) Возьмём на прямой три точки $$A, B, C$$. При движении они перейдут в точки $$A_1, B_1, C_1$$ соответственно, причём

$$AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad AC=A_1C_1.$$

Так как точки $$A, B, C$$ лежат на одной прямой, то

$$AC=AB+BC.$$

Следовательно,

$$A_1C_1=A_1B_1+B_1C_1.$$

Равенство $$A_1C_1=A_1B_1+B_1C_1$$ возможно только тогда, когда точки $$A_1, B_1, C_1$$ лежат на одной прямой. Значит, образ любой прямой при движении есть прямая.

б) Возьмём на плоскости $$\alpha$$ две пересекающиеся прямые $$a$$ и $$b$$. Они пересекаются в точке $$O$$. При движении точки $$O, A, B$$ перейдут в точки $$O_1, A_1, B_1$$, причём

$$OA=O_1A_1,\quad OB=O_1B_1.$$

По доказанному в пункте а) прямые $$a$$ и $$b$$ перейдут в прямые $$a_1$$ и $$b_1$$. Так как прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются в точке $$O$$, то их образы $$a_1$$ и $$b_1$$ пересекаются в точке $$O_1$$.

Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Следовательно, точки $$A_1, B_1, O_1$$ лежат в одной плоскости $$\alpha_1$$, а значит, и вся прямая $$A_1B_1$$ лежит в этой плоскости. Так как любая точка плоскости $$\alpha$$ может быть получена как точка пересечения двух прямых, лежащих в этой плоскости, то все её образы лежат в одной плоскости $$\alpha_1$$.

Итак, при движении плоскость отображается на плоскость.