Упр.726 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Треугольник $$A_1B_1C_1$$ получен параллельным переносом треугольника $$ABC$$ на вектор $$p$$. Точки $$M_1$$ и $$M$$ — соответственно точки пересечения медиан треугольников $$A_1B_1C_1$$ и $$ABC$$. Докажите, что при параллельном переносе на вектор $$p$$ точка $$M$$ переходит в точку $$M_1$$.

Подробный ответ

Известно, что при параллельном переносе сохраняются длины отрезков и параллельность прямых. Поэтому

$$AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad AC=A_1C_1.$$

Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ равны.

Пусть $$M$$ и $$M_1$$ — точки пересечения медиан треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ соответственно. Проведём отрезки $$AM$$ и $$A_1M_1$$. Так как соответствующие треугольники равны, то медианы, проведённые к соответствующим сторонам, равны:

$$AM=A_1M_1.$$

Кроме того, при параллельном переносе точка $$A$$ переходит в точку $$A_1$$, а точка $$M$$ — в некоторую точку, лежащую на прямой, параллельной $$AA_1$$ и проходящей через $$M$$. Рассмотрим четырёхугольник $$AMM_1A_1$$. В нём

$$AM \parallel A_1M_1,\qquad AM=A_1M_1.$$

Значит, $$AMM_1A_1$$ — параллелограмм. Тогда

$$AA_1 \parallel MM_1,\qquad AA_1=MM_1.$$

Но вектор параллельного переноса равен $$\vec p=\overrightarrow{AA_1}$$, следовательно, $$\overrightarrow{MM_1}=\vec p$$. Значит, при параллельном переносе на вектор $$\vec p$$ точка $$M$$ переходит в точку $$M_1$$.