Упр.725 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что при параллельном переносе на вектор $$\vec p$$, где $$\vec p \ne \vec 0$$: а) прямая, не параллельная вектору $$\vec p$$ и не содержащая этот вектор, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, параллельная вектору $$\vec p$$ или содержащая этот вектор, отображается на себя.

Пусть при параллельном переносе на вектор $$\vec p\neq \vec 0$$ прямая $$a$$ переходит в прямую $$a_1$$.

а)

Возьмём на прямой $$a$$ две точки $$A$$ и $$B$$. Тогда при переносе они перейдут в точки $$A_1$$ и $$B_1$$ так, что

$$\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{BB_1}=\vec p.$$

Четырёхугольник $$AA_1B_1B$$ имеет попарно равные и параллельные противоположные стороны, значит, это параллелограмм. Следовательно,

$$AB \parallel A_1B_1.$$

Так как точки $$A_1$$ и $$B_1$$ лежат на образе прямой $$a_1$$, то прямая $$a_1$$ параллельна прямой $$a$$.

Если бы $$a$$ содержала вектор $$\vec p$$ или была ему параллельна, то перенос сдвигал бы каждую её точку вдоль самой прямой, и образ совпадал бы с исходной прямой. Поэтому в случае, когда прямая не параллельна $$\vec p$$ и не содержит его, она переходит в параллельную ей прямую.

б)

Пусть прямая $$a$$ параллельна вектору $$\vec p$$ или содержит его. Возьмём любую точку $$A\in a$$ и обозначим её образ через $$A_1$$. Тогда

$$\overrightarrow{AA_1}=\vec p.$$

Так как $$a \parallel \vec p$$, то через точку $$A$$ в плоскости, содержащей прямую $$a$$ и вектор $$\vec p$$, можно провести только одну прямую, параллельную $$\vec p$$. Эта прямая и есть $$a$$, значит, точка $$A_1$$ также лежит на $$a$$.

Следовательно, каждая точка прямой $$a$$ переходит в точку той же прямой, то есть прямая отображается на себя.

Ответ: а) прямая переходит в параллельную ей прямую; б) прямая, параллельная $$\vec p$$ или содержащая $$\vec p$$, переходит на себя.