Упр.724 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

При зеркальной симметрии относительно плоскости $$\alpha$$ плоскость $$P$$ отображается на плоскость $$P_1$$. Докажите, что если:

а) $$P \parallel \alpha$$, то $$P_1 \parallel \alpha$$;
б) $$P \perp \alpha$$, то $$P_1$$ совпадает с $$P$$.

Подробный ответ

Пусть при зеркальной симметрии относительно плоскости $$\alpha$$ плоскость $$\beta$$ переходит в плоскость $$\beta_1$$.

а)

Возьмём в плоскости $$\beta$$ три точки $$A, B, C$$, не лежащие на одной прямой. Проведём через них перпендикуляры к плоскости $$\alpha$$: $$AA_1$$, $$BB_1$$, $$CC_1$$. Тогда точки $$A_1, B_1, C_1$$ — образы точек $$A, B, C$$, причём

$$A_1A=AA_1,\quad B_1B=BB_1,\quad C_1C=CC_1.$$

Так как $$AA_1 \perp \alpha$$ и $$BB_1 \perp \alpha$$, то $$AA_1 \parallel BB_1$$. Кроме того, $$AA_1=BB_1$$, значит, четырёхугольник $$AA_1B_1B$$ — прямоугольник. Следовательно,

$$A_1B_1 \parallel AB.$$

Аналогично получаем

$$B_1C_1 \parallel BC.$$

Плоскость $$\beta_1$$ проходит через точки $$A_1, B_1, C_1$$ и единственна. Поскольку две пересекающиеся прямые $$AB$$ и $$BC$$ одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым $$A_1B_1$$ и $$B_1C_1$$ другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Значит,

$$\beta_1 \parallel \beta.$$

б)

Пусть теперь $$\beta \perp \alpha$$. Возьмём произвольную точку $$A \in \beta$$ и проведём через неё прямую $$AO \perp \alpha$$. Продолжим отрезок за точку $$O$$ так, чтобы $$OA_1=OA$$.

Так как плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ взаимно перпендикулярны, то прямая $$AO$$, перпендикулярная плоскости $$\alpha$$ и имеющая общую точку с плоскостью $$\beta$$, целиком лежит в плоскости $$\beta$$. Следовательно, $$A_1 \in \beta$$.

Значит, каждая точка плоскости $$\beta$$ при отражении относительно $$\alpha$$ переходит в точку той же плоскости $$\beta$$. Поэтому плоскость $$\beta$$ отображается сама на себя, то есть

$$\beta_1=\beta.$$