Упр.723 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

При зеркальной симметрии прямая $$a$$ отображается на прямую $$a_1$$. Докажите, что прямые $$a$$ и $$a_1$$ лежат в одной плоскости.

Рассмотрим плоскость, относительно которой выполняется зеркальная симметрия. Обозначим её через $$\alpha.$$

Пусть прямая $$a$$ переходит при симметрии в прямую $$a_1.$$

Если $$a \parallel \alpha,$$ то точки $$M$$ и $$L,$$ $$N$$ и $$K$$ — симметричные, поэтому

$$MA=AL,\qquad NB=BK.$$

Так как $$a \parallel \alpha,$$ то отрезки $$MA$$ и $$NB$$ равны расстояниям от точек $$A$$ и $$B$$ до плоскости $$\alpha,$$ а значит,

$$MA=NB.$$

Следовательно,

$$AL=BK.$$

Кроме того, прямые $$ML$$ и $$NK$$ перпендикулярны плоскости $$\alpha,$$ значит, $$ML \parallel NK.$$

Так как в четырёхугольнике $$MNKL$$ одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то $$MNKL$$ — прямоугольник. Отсюда

$$LK \parallel MN.$$

Но $$MN \subset a,$$ значит, $$LK \parallel a.$$ Следовательно, прямые $$a$$ и $$a_1$$ параллельны и лежат в одной плоскости.

Если же $$a$$ не параллельна плоскости $$\alpha,$$ то она пересекает её в точке $$P.$$ При зеркальной симметрии точка $$P$$ переходит сама в себя, так как лежит в плоскости симметрии. Значит, $$P \in a$$ и $$P \in a_1.$$

Итак, прямые $$a$$ и $$a_1$$ имеют общую точку, а значит, лежат в одной плоскости.