Упр.722 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что при осевой симметрии: а) прямая, параллельная оси, отображается на прямую, параллельную оси; б) прямая, образующая с осью угол $$\varphi$$, отображается на прямую, также образующую с осью угол $$\varphi$$.

Пусть ось симметрии — прямая $$l$$.

а) Возьмём на прямой $$m$$ две точки $$M$$ и $$L$$ и обозначим их образы при осевой симметрии через $$M_1$$ и $$L_1$$. Тогда отрезки $$MM_1$$ и $$LL_1$$ перпендикулярны оси $$l$$, а значит, параллельны между собой. Кроме того, если $$ML \parallel l$$, то и $$M_1L_1 \parallel l$$, так как точки $$M_1$$ и $$L_1$$ получаются отражением точек $$M$$ и $$L$$ относительно прямой $$l$$.

Следовательно, четырёхугольник $$LMM_1L_1$$ — прямоугольник, откуда $$MM_1 \parallel LL_1$$ и $$ML \parallel M_1L_1$$. Значит, образ прямой $$m$$ — прямая $$m_1$$, параллельная оси $$l$$.

б) Пусть прямая $$m$$ пересекает ось $$l$$ в точке $$A$$ и образует с ней угол $$\varphi$$. Возьмём на прямой $$l$$ точку $$N$$ и проведём $$NE \perp a$$, где $$E \in m$$. Продолжим отрезок $$NE$$ за точку $$E$$ так, чтобы $$EF=NE$$. Через точку $$F$$ проведём прямую $$FA$$, которая и будет образом прямой $$m$$.

Рассмотрим треугольники $$AEF$$ и $$AEN$$. У них

$$AE$$ — общий катет,

$$EF=NE$$ по построению.

Следовательно, $$\triangle AEF \cong \triangle AEN$$ по двум сторонам и углу между ними, а значит,

$$\angle EAF=\angle EAN=\varphi.$$

Итак, прямая $$m$$ при осевой симметрии переходит в прямую, которая также образует с осью $$l$$ угол $$\varphi$$.