Упр.721 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что при центральной симметрии: а) плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость; б) плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.
Пусть $$O$$ — центр центральной симметрии.
а) Плоскость, не проходящая через центр симметрии
Пусть дана плоскость $$\alpha$$, не содержащая точку $$O$$. Возьмём в ней любые три не лежащие на одной прямой точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ и построим им симметричные точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ так, что $$O$$ — середина отрезков $$AA_1$$, $$BB_1$$, $$CC_1$$.
Рассмотрим треугольники $$OAC$$ и $$OA_1C_1$$. Имеем:
$$OA=OA_1,\qquad OC=OC_1,$$
а углы $$\angle AOC$$ и $$\angle A_1OC_1$$ равны как вертикальные. Значит, $$\triangle OAC \cong \triangle OA_1C_1$$.
Отсюда следует, что $$\angle A_1C_1O=\angle ACO$$, то есть прямые $$A_1C_1$$ и $$AC$$ параллельны. Аналогично получаем, что $$A_1B_1 \parallel AB$$.
Так как в плоскости $$\alpha$$ прямые $$AB$$ и $$AC$$ пересекаются, то в образе они переходят в пересекающиеся прямые $$A_1B_1$$ и $$A_1C_1$$. Следовательно, точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ лежат в одной плоскости $$\beta$$, причём $$\beta \parallel \alpha$$.
б) Плоскость, проходящая через центр симметрии
Пусть плоскость $$\alpha$$ проходит через точку $$O$$. Возьмём любую точку $$A \in \alpha$$ и её симметричную точку $$A_1$$. Так как точки $$A$$ и $$A_1$$ лежат на прямой $$OA$$, а прямая $$OA$$ принадлежит плоскости $$\alpha$$, то и точка $$A_1$$ лежит в плоскости $$\alpha$$.
Аналогично, если $$B \in \alpha$$ и $$C \in \alpha$$, то их симметричные точки $$B_1$$ и $$C_1$$ также принадлежат плоскости $$\alpha$$. Значит, образ любой точки плоскости $$\alpha$$ при центральной симметрии снова лежит в этой же плоскости.
Следовательно, плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.
Ответ: а) на параллельную ей плоскость; б) на себя.
