Упр.721 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что при центральной симметрии: а) плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость; б) плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

а) Пусть дана плоскость $$\alpha$$, не проходящая через центр симметрии $$O$$. Возьмём в ней любые три неколлинеарные точки $$A,\ B,\ C$$ и построим точки $$A_1,\ B_1,\ C_1$$, симметричные им относительно точки $$O$$. Тогда $$O$$ — середина отрезков $$AA_1,\ BB_1,\ CC_1$$.

Рассмотрим треугольники $$OAC$$ и $$OA_1C_1$$. Имеем:

$$OA=OA_1,\qquad OC=OC_1,$$

$$\angle AOC=\angle A_1OC_1$$

как вертикальные углы. Следовательно, $$\triangle OAC \cong \triangle OA_1C_1$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$A_1C_1 \parallel AC.$$

Аналогично получаем:

$$A_1B_1 \parallel AB,\qquad B_1C_1 \parallel BC.$$

Значит, через точки $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ проходит плоскость, параллельная плоскости $$\alpha$$. Следовательно, образ плоскости $$\alpha$$ при центральной симметрии — плоскость, параллельная ей.

б) Пусть теперь плоскость $$\alpha$$ проходит через центр симметрии $$O$$. Возьмём любую точку $$A \in \alpha$$ и обозначим через $$A_1$$ её образ при центральной симметрии. Тогда точки $$A,\ O,\ A_1$$ лежат на одной прямой. Так как $$O \in \alpha$$ и $$A \in \alpha$$, то прямая $$OA$$ лежит в плоскости $$\alpha$$. Следовательно, точка $$A_1$$ тоже принадлежит плоскости $$\alpha$$.

Значит, образ любой точки плоскости $$\alpha$$ снова лежит в этой же плоскости. Поэтому плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

Ответ

а) Плоскость, не проходящая через центр симметрии, переходит в параллельную ей плоскость.
б) Плоскость, проходящая через центр симметрии, переходит в саму себя.