Упр.720 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что при центральной симметрии: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр центральной симметрии.

а)

Пусть прямая $$a$$ не проходит через точку $$O$$. Возьмём на ней любые две точки $$A$$ и $$B$$ и построим их симметричные точки $$A_1$$ и $$B_1$$ относительно центра $$O$$, то есть так, что $$O$$ — середина отрезков $$AA_1$$ и $$BB_1$$.

Рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$A_1OB_1$$. Имеем:

$$OA=OA_1,\quad OB=OB_1,$$
$$\angle AOB=\angle A_1OB_1$$

как вертикальные углы. Значит, $$\triangle AOB \cong \triangle A_1OB_1$$ по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда равны соответствующие углы:

$$\angle ABO=\angle A_1B_1O.$$

Но эти углы являются накрест лежащими при прямых $$a$$ и $$a_1$$ и секущей $$BB_1$$. Следовательно, $$a \parallel a_1$$.

Итак, прямая, не проходящая через центр симметрии, переходит в параллельную ей прямую.

б)

Пусть прямая $$a$$ проходит через центр симметрии $$O$$. Возьмём любую точку $$A \in a$$ и обозначим через $$A_1$$ её симметричную точку относительно $$O$$. Тогда точки $$A$$, $$O$$ и $$A_1$$ лежат на одной прямой, причём $$O$$ — середина отрезка $$AA_1$$.

Так как точка $$A$$ была выбрана произвольно, то симметричная ей точка $$A_1$$ для любой точки прямой $$a$$ также принадлежит этой прямой. Значит, при центральной симметрии вся прямая $$a$$ переходит сама в себя.

Ответ: а) $$a \parallel a_1$$; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.