Упр.72 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

б) Точка M лежит внутри грани ABD.

Подробный ответ

Рассмотрим два случая.

а) Точка $$M$$ — середина ребра $$AD$$

Проведём через точку $$M$$ прямые, параллельные рёбрам $$AC$$ и $$BC$$. Пусть они пересекут рёбра $$DC$$ и $$DB$$ в точках $$N$$ и $$K$$ соответственно. Тогда в треугольнике $$ADC$$ отрезок $$MN$$ является средней линией, значит $$MN \parallel AC.$$

Аналогично, в треугольнике $$DBC$$ отрезок $$KN$$ — средняя линия, поэтому $$KN \parallel BC.$$

Плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые $$MN$$ и $$KN$$, содержит две прямые, параллельные двум пересекающимся прямым плоскости $$ABC$$. Следовательно, $$\text{плоскость } MNK \parallel \text{плоскости } ABC.$$

Искомое сечение — треугольник $$MNK$$.

б) Точка $$M$$ лежит внутри грани $$ABD$$

Через точку $$M$$ проведём прямую $$KP \parallel AB$$, где $$K \in DB$$, $$P \in DA$$. Затем через точку $$K$$ проведём прямую $$KN \parallel BC$$, где $$N \in DC$$.

Тогда в треугольнике $$DAB$$ прямая $$KP$$, проходящая через точку $$M$$ и параллельная $$AB$$, лежит в плоскости грани $$ABD$$. Кроме того, в треугольнике $$DBC$$ прямая $$KN$$ параллельна $$BC$$.

Плоскость, проходящая через пересекающиеся прямые $$KP$$ и $$KN$$, содержит две прямые, параллельные двум пересекающимся прямым плоскости $$ABC$$. Значит,

$$\text{плоскость } KPN \parallel \text{плоскости } ABC.$$

Искомое сечение — треугольник $$KPN$$.