Упр.718 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Проекция точки K на плоскость квадрата ABCD совпадает с центром этого квадрата. Докажите, что угол между прямыми AK и BD равен 90°.

Подробный ответ

Введём прямоугольную систему координат так, чтобы плоскость квадрата $$ABCD$$ была плоскостью $$Oxy$$, а точка $$A$$ совпадала с началом координат. Пусть сторона квадрата равна $$a$$. Тогда можно задать координаты вершин так:

$$A(0;0;0),\quad B(a;0;0),\quad D(0;a;0).$$

Так как проекция точки $$K$$ на плоскость квадрата совпадает с его центром, то проекция лежит в точке

$$K_1\left(\frac a2;\frac a2;0\right).$$

Пусть координата точки $$K$$ по оси $$Oz$$ равна $$b$$. Тогда

$$K\left(\frac a2;\frac a2;b\right).$$

Найдём векторы:

$$\overrightarrow{AK}=\left(\frac a2;\frac a2;b\right),\qquad \overrightarrow{BD}=D-B=(-a;a;0).$$

Вычислим их скалярное произведение:

$$ \overrightarrow{AK}\cdot \overrightarrow{BD} = \frac a2\cdot(-a)+\frac a2\cdot a+b\cdot 0 = -\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}=0. $$

Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то они перпендикулярны. Значит,

$$\overrightarrow{AK}\perp \overrightarrow{BD},$$

то есть угол между прямыми $$AK$$ и $$BD$$ равен $$90^\circ$$.