Упр.718 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Проекция точки $$K$$ на плоскость квадрата $$ABCD$$ совпадает с центром этого квадрата. Докажите, что угол между прямыми $$AK$$ и $$BD$$ равен $$90^\circ$$.
Введём прямоугольную систему координат так, чтобы плоскость квадрата $$ABCD$$ была плоскостью $$Oxy$$, а его центр совпадал с началом координат. Тогда можно взять координаты вершин квадрата в виде
$$A\left(-\frac a2,-\frac a2,0\right),\quad B\left(\frac a2,-\frac a2,0\right),\quad C\left(\frac a2,\frac a2,0\right),\quad D\left(-\frac a2,\frac a2,0\right).$$
Так как проекция точки $$K$$ на плоскость квадрата совпадает с его центром, то координаты точки $$K$$ имеют вид
$$K(0,0,b).$$
Найдём векторы:
$$\overrightarrow{AK}=\left(\frac a2,\frac a2,b\right),\qquad \overrightarrow{BD}=\left(-a,a,0\right).$$
Их скалярное произведение равно
$$\overrightarrow{AK}\cdot \overrightarrow{BD} =\frac a2\cdot(-a)+\frac a2\cdot a+b\cdot 0 =-\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}=0.$$
Следовательно, векторы $$\overrightarrow{AK}$$ и $$\overrightarrow{BD}$$ перпендикулярны, значит, перпендикулярны и прямые $$AK$$ и $$BD$$.
Ответ: $$\angle(AK,BD)=90^\circ$$.
