Упр.717 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Угол между диагональю $$AC_1$$ прямоугольного параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и каждым из рёбер $$AB$$ и $$AD$$ равен $$60^\circ$$. Найдите $$\angle CAC_1$$.

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$A$$ и осями вдоль рёбер $$AB$$, $$AD$$ и $$AA_1$$. Пусть

$$A(0,0,0),\quad B(x,0,0),\quad D(0,y,0),\quad C(x,y,0),\quad C_1(x,y,z).$$

Тогда векторы

$$\overrightarrow{AC_1}=(x,y,z),\quad \overrightarrow{AB}=(x,0,0),\quad \overrightarrow{AD}=(0,y,0).$$

По условию углы между диагональю $$AC_1$$ и рёбрами $$AB$$ и $$AD$$ равны $$60^\circ$$, значит

$$\cos 60^\circ=\frac{\overrightarrow{AC_1}\cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AC_1}|\cdot |\overrightarrow{AB}|}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac12,$$

$$\cos 60^\circ=\frac{\overrightarrow{AC_1}\cdot \overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AC_1}|\cdot |\overrightarrow{AD}|}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac12.$$

Отсюда

$$x=y=\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{2}.$$

Найдём косинус угла $$\angle CAC_1$$:

$$\cos \angle CAC_1=\frac{\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CC_1}}{|CA|\cdot |CC_1|}$$

удобнее воспользоваться векторами $$\overrightarrow{AC}=(x,y,0)$$ и $$\overrightarrow{AC_1}=(x,y,z)$$:

$$\cos \angle CAC_1=\frac{\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AC_1}}{|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{AC_1}|}=\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}\cdot \sqrt{x^2+y^2+z^2}}.$$

Так как $$x=y=\dfrac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{2}$$, то

$$x^2+y^2=2\cdot \frac{x^2+y^2+z^2}{4}=\frac{x^2+y^2+z^2}{2}.$$

Следовательно,

$$\cos \angle CAC_1=\frac{\frac{x^2+y^2+z^2}{2}}{\sqrt{x^2+y^2}\cdot \sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Значит,

$$\angle CAC_1=45^\circ.$$

Ответ: $$45^\circ$$.