Упр.717 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Угол между диагональю AC1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и каждым из ребер AB и AD равен 60°. Найдите ZCAC1.

Подробный ответ

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$A$$ и осями вдоль рёбер параллелепипеда: $$AB$$, $$AD$$, $$AA_1$$.

Пусть

$$A(0,0,0),\quad B(x,0,0),\quad D(0,y,0),\quad A_1(0,0,z).$$

Тогда

$$C_1(x,y,z),\quad \overrightarrow{AC_1}=(x,y,z).$$

По условию угол между диагональю $$AC_1$$ и каждым из рёбер $$AB$$ и $$AD$$ равен $$60^\circ$$. Значит,

$$\cos \angle BAC_1=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac12,$$

$$\cos \angle DAC_1=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac12.$$

Отсюда

$$x=y=\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{2}.$$

Найдём косинус угла между диагональю $$AC_1$$ и диагональю основания $$AC$$. Так как

$$\overrightarrow{AC}=(x,y,0),$$

то

$$\cos \angle CAC_1=\frac{\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AC_1}}{|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{AC_1}|}=\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}\cdot \sqrt{x^2+y^2+z^2}}.$$

Подставим найденные значения $$x$$ и $$y$$:

$$x^2+y^2=2\cdot \frac{x^2+y^2+z^2}{4}=\frac{x^2+y^2+z^2}{2}.$$

Тогда

$$\cos \angle CAC_1=\frac{\frac{x^2+y^2+z^2}{2}}{\sqrt{x^2+y^2}\cdot \sqrt{x^2+y^2+z^2}}.$$

Но

$$x^2+y^2=\frac{x^2+y^2+z^2}{2},$$

поэтому

$$\cos \angle CAC_1=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Следовательно,

$$\angle CAC_1=45^\circ.$$