Упр.716 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B тетраэдре DABC DA = 5 см, AB = 4 см, AC = 3 см, ZBAC = 90°, ZDAB = 60°, ZDAC = 45°. Найдите расстояние от вершины A до точки пересечения медиан треугольника DBC.

Подробный ответ

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$A$$ так, чтобы ось $$Ox$$ была направлена вдоль $$AB$$, а ось $$Oy$$ — вдоль $$AC$$. Тогда

$$A(0,0,0), \quad B(4,0,0), \quad C(0,3,0).$$

Пусть $$D(x,y,z)$$. Из условий $$DA=5$$, $$\angle DAB=60^\circ$$, $$\angle DAC=45^\circ$$ получаем:

$$ \cos \angle DAB=\frac{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}}{|AD|\cdot |AB|}=\frac{x\cdot 4}{5\cdot 4}=\frac{x}{5}=\frac12, $$
откуда $$x=\frac52$$.

$$ \cos \angle DAC=\frac{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}}{|AD|\cdot |AC|}=\frac{y\cdot 3}{5\cdot 3}=\frac{y}{5}=\frac{\sqrt2}{2}, $$
откуда $$y=\frac{5\sqrt2}{2}$$.

Теперь найдём $$z$$ из условия $$DA=5$$:

$$ x^2+y^2+z^2=25, $$
$$ \left(\frac52\right)^2+\left(\frac{5\sqrt2}{2}\right)^2+z^2=25, $$
$$ \frac{25}{4}+\frac{50}{4}+z^2=25, $$
$$ z^2=25-\frac{75}{4}=\frac{25}{4}, $$
значит,
$$ z=\frac52. $$

Следовательно,

$$D\left(\frac52,\frac{5\sqrt2}{2},\frac52\right).$$

Точка пересечения медиан треугольника $$DBC$$ — это его центр тяжести. Если $$M$$ — эта точка, то

$$ M\left(\frac{x_D+x_B+x_C}{3},\frac{y_D+y_B+y_C}{3},\frac{z_D+z_B+z_C}{3}\right). $$

Подставим координаты:

$$ M\left(\frac{\frac52+4+0}{3},\frac{\frac{5\sqrt2}{2}+0+3}{3},\frac{\frac52+0+0}{3}\right) = M\left(\frac{13}{6},\frac{5\sqrt2+6}{6},\frac56\right). $$

Тогда

$$ AM=\sqrt{\left(\frac{13}{6}\right)^2+\left(\frac{5\sqrt2+6}{6}\right)^2+\left(\frac56\right)^2}. $$

$$ AM=\frac16\sqrt{169+(5\sqrt2+6)^2+25} =\frac16\sqrt{169+50+60\sqrt2+36+25} $$
$$ =\frac16\sqrt{280+60\sqrt2} =\frac13\sqrt{70+15\sqrt2}. $$