Упр.716 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В тетраэдре $$DABC$$ $$DA=5\text{ см}$$, $$AB=4\text{ см}$$, $$AC=3\text{ см}$$, $$\angle BAC=90^\circ$$, $$\angle DAB=60^\circ$$, $$\angle DAC=45^\circ$$. Найдите расстояние от вершины $$A$$ до точки пересечения медиан треугольника $$DBC$$.
Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$A$$ так, чтобы ось $$Ox$$ совпадала с лучом $$AB$$, а ось $$Oy$$ лежала в плоскости $$ABC$$ и была перпендикулярна $$AB$$.
Тогда
$$A(0,0,0),\quad B(4,0,0),\quad C(0,3,0).$$
Пусть $$M$$ — точка пересечения медиан треугольника $$DBC$$. Тогда $$M$$ лежит на медиане, проведённой из вершины $$D$$ к середине отрезка $$BC$$. Обозначим середину $$BC$$ через $$N$$. Тогда
$$N\left(2,\frac{3}{2},0\right).$$
Найдём координаты точки $$D(x,y,z)$$.
Из условия $$DA=5$$, $$\angle DAB=60^\circ$$, $$\angle DAC=45^\circ$$ получаем:
$$\cos \angle DAB=\frac{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}}{|AD|\cdot |AB|}=\frac{x\cdot 4}{5\cdot 4}=\frac{x}{5}=\frac12,$$
откуда $$x=\frac52.$$
Аналогично
$$\cos \angle DAC=\frac{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}}{|AD|\cdot |AC|}=\frac{y\cdot 3}{5\cdot 3}=\frac{y}{5}=\frac{\sqrt2}{2},$$
следовательно,
$$y=\frac{5\sqrt2}{2}.$$
Теперь из равенства $$AD=5$$:
$$x^2+y^2+z^2=25,$$
$$\left(\frac52\right)^2+\left(\frac{5\sqrt2}{2}\right)^2+z^2=25,$$
$$\frac{25}{4}+\frac{50}{4}+z^2=25,$$
$$z^2=\frac{25}{4},\qquad z=\frac52.$$
Значит,
$$D\left(\frac52,\frac{5\sqrt2}{2},\frac52\right).$$
Точка пересечения медиан треугольника $$DBC$$ делит медиану $$DN$$ в отношении $$2:1$$, считая от вершины $$D$$. Поэтому
$$M=\frac13D+\frac23N.$$
Тогда
$$M\left(\frac{13}{6},\frac{5\sqrt2+6}{6},\frac56\right).$$
Найдём расстояние $$AM$$:
$$AM=\sqrt{\left(\frac{13}{6}\right)^2+\left(\frac{5\sqrt2+6}{6}\right)^2+\left(\frac56\right)^2}.$$
$$AM=\sqrt{\frac{169+(5\sqrt2+6)^2+25}{36}} =\sqrt{\frac{169+50+60\sqrt2+36+25}{36}}$$
$$AM=\sqrt{\frac{280+60\sqrt2}{36}} =\frac{1}{3}\sqrt{70+15\sqrt2}.$$
Ответ: $$\frac{1}{3}\sqrt{70+15\sqrt2}$$.
