Упр.715 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ZBAC1=ZDAC1 = = 60°. Найдите ф = ZA1AC1. Решение Зададим прямоугольную систему координат Oxyz так, как показано на рисунке 140, и рассмотрим единичный вектор а, co- направленный с вектором AC1. Вектор а имеет координаты {cos 60°; cos 60°; cos ф}, или j I; I; cos ф j. Так как | а \ = 1, то получим равенство — + i + cos2 ф = 1. Отсюда 4 4 1 J2 cos2q = L, или созф = ±—. Так как угол ф 2 2 fn острый, то cos ф = xZ, откуда ф = 45°.

Подробный ответ

Зададим прямоугольную систему координат с началом в точке $$B$$ и рассмотрим единичный вектор $$\vec a$$, сонаправленный с вектором $$AC_1$$.

Тогда координаты вектора $$\vec a$$ равны

$$\left(\cos 60^\circ,\ \cos 60^\circ,\ \cos \varphi\right)=\left(\frac12,\ \frac12,\ \cos \varphi\right).$$

Так как $$|\vec a|=1$$, получаем

$$ \left(\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^2+\cos^2\varphi=1. $$

Отсюда

$$ \frac14+\frac14+\cos^2\varphi=1, $$

$$ \cos^2\varphi=\frac12. $$

Следовательно,

$$ \cos\varphi=\pm\frac{\sqrt2}{2}. $$

Так как угол $$\varphi$$ острый, то