Упр.715 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ $$\angle BAC_1=\angle DAC_1=60^\circ$$. Найдите $$\varphi=\angle A_1AC_1$$.

Зададим систему координат с началом в точке $$B$$ и рассмотрим единичный вектор $$\vec a$$, сонаправленный с вектором $$AC_1$$.

Тогда координаты вектора $$\vec a$$ равны $$\left(\cos 60^\circ,\cos 60^\circ,\cos \varphi\right)=\left(\frac12,\frac12,\cos \varphi\right).$$

Так как $$|\vec a|=1$$, получаем:

$$\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^2+\cos^2\varphi=1$$

$$\frac14+\frac14+\cos^2\varphi=1$$

$$\cos^2\varphi=\frac12$$

$$\cos\varphi=\pm\frac{\sqrt2}{2}$$

Поскольку угол $$\varphi=\angle A_1AC_1$$ острый, то

$$\cos\varphi=\frac{\sqrt2}{2}$$

Следовательно,

$$\varphi=45^\circ.$$

Ответ: $$45^\circ$$.