Упр.714 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Лучи $$OA$$, $$OB$$ и $$OC$$ образуют три прямых угла $$AOB$$, $$AOC$$ и $$BOC$$. Найдите угол между биссектрисами углов $$COA$$ и $$AOB$$.

Подробный ответ

Пусть лучи $$OA$$, $$OB$$ и $$OC$$ взаимно перпендикулярны. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$O$$ так, чтобы

$$OA$$ совпадал с осью $$Ox,$$ $$OB$$ — с осью $$Oy,$$ $$OC$$ — с осью $$Oz.$$

Тогда можно взять точки

$$A(1,0,0),\quad B(0,1,0),\quad C(0,0,1).$$

Биссектриса угла $$AOB$$ проходит через середину отрезка $$AB,$$ значит её направляющий вектор можно взять равным

$$\vec{u}=\left(\frac12,\frac12,0\right).$$

Биссектриса угла $$COA$$ проходит через середину отрезка $$AC,$$ поэтому её направляющий вектор

$$\vec{v}=\left(\frac12,0,\frac12\right).$$

Найдём косинус угла между этими векторами:

$$\cos \varphi= \frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|} = \frac{\frac12\cdot \frac12+\frac12\cdot 0+0\cdot \frac12} {\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^2}\cdot \sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^2}} = \frac{\frac14}{\frac{1}{\sqrt2}\cdot \frac{1}{\sqrt2}} = \frac12.$$

Следовательно,

$$\varphi=60^\circ.$$

Ответ: $$60^\circ$$.