Упр.713 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Дан куб $$MNPQM_1N_1P_1Q_1$$. Докажите, что прямая $$PM_1$$ перпендикулярна к плоскостям $$MN_1Q_1$$ и $$QNP_1$$.
Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$M$$ и осями, направленными вдоль рёбер куба. Пусть ребро куба равно $$a$$. Тогда координаты вершин можно задать так:
$$M(0,0,0),\quad N(a,0,0),\quad Q(0,a,0),\quad P(a,a,0),\quad M_1(0,0,a),\quad N_1(a,0,a),\quad Q_1(0,a,a),\quad P_1(a,a,a).$$
Докажем сначала, что $$PM_1 \perp MN_1Q_1$$. Для этого достаточно показать, что прямая $$PM_1$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости, например $$MN_1$$ и $$N_1Q_1$$.
Найдём направляющие векторы:
$$\overrightarrow{PM_1}=M_1-P=(-a,-a,a),$$
$$\overrightarrow{MN_1}=N_1-M=(a,0,a),$$
$$\overrightarrow{N_1Q_1}=Q_1-N_1=(-a,a,0).$$
Скалярные произведения равны:
$$\overrightarrow{PM_1}\cdot \overrightarrow{MN_1}=(-a)\cdot a+(-a)\cdot 0+a\cdot a=-a^2+a^2=0,$$
$$\overrightarrow{PM_1}\cdot \overrightarrow{N_1Q_1}=(-a)\cdot(-a)+(-a)\cdot a+a\cdot 0=a^2-a^2=0.$$
Значит, $$PM_1 \perp MN_1$$ и $$PM_1 \perp N_1Q_1$$, а следовательно,
$$PM_1 \perp MN_1Q_1.$$
Теперь докажем, что $$PM_1 \perp QNP_1$$. В плоскости $$QNP_1$$ возьмём две пересекающиеся прямые $$QN$$ и $$QP_1$$.
Их направляющие векторы:
$$\overrightarrow{QN}=N-Q=(a,-a,0),$$
$$\overrightarrow{QP_1}=P_1-Q=(a,0,a).$$
Проверим перпендикулярность:
$$\overrightarrow{PM_1}\cdot \overrightarrow{QN}=(-a)\cdot a+(-a)\cdot(-a)+a\cdot 0=-a^2+a^2=0,$$
$$\overrightarrow{PM_1}\cdot \overrightarrow{QP_1}=(-a)\cdot a+(-a)\cdot 0+a\cdot a=-a^2+a^2=0.$$
Следовательно, $$PM_1 \perp QN$$ и $$PM_1 \perp QP_1$$, значит
$$PM_1 \perp QNP_1.$$
Ответ: $$PM_1 \perp MN_1Q_1$$ и $$PM_1 \perp QNP_1$$.
