Упр.711 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В тетраэдре \(ABCD\) $$\angle ABD=\angle ABC=\angle DBC=90^\circ$$, $$AB=BD=2$$, $$BC=1$$. Вычислите синус угла между прямой, проходящей через середины рёбер $$AD$$ и $$BC$$, и плоскостью грани: а) $$ABD$$; б) $$DBC$$; в) $$ABC$$.
Введём прямоугольную систему координат так, чтобы точка $$B$$ была началом координат, а оси были направлены вдоль взаимно перпендикулярных рёбер $$BA$$, $$BC$$ и $$BD$$.
Тогда можно задать координаты вершин тетраэдра:
$$B(0,0,0),\quad A(2,0,0),\quad C(0,1,0),\quad D(0,0,2).$$
Середины рёбер $$AD$$ и $$BC$$ обозначим через $$M$$ и $$N$$ соответственно. Тогда
$$M\left(1,0,1\right),\quad N\left(0,\frac12,0\right).$$
Направляющий вектор прямой $$MN$$:
$$\overrightarrow{MN}=\left(-1,\frac12,-1\right).$$
Угол между прямой и плоскостью равен углу между этой прямой и её ортогональной проекцией на плоскость, поэтому удобно использовать формулу
$$\sin\varphi=\cos\alpha,$$
где $$\alpha$$ — угол между вектором $$\overrightarrow{MN}$$ и нормалью к плоскости.
Для каждой грани берём нормаль, перпендикулярную этой плоскости.
а) Плоскость $$ABD$$
Нормаль к плоскости $$ABD$$ можно взять вдоль оси $$BC$$:
$$\vec n_{ABD}=(0,1,0).$$
Тогда
$$\cos\alpha= \frac{\left|\overrightarrow{MN}\cdot \vec n_{ABD}\right|} {|\overrightarrow{MN}|\cdot |\vec n_{ABD}|} = \frac{\left|\frac12\right|} {\sqrt{1+\frac14+1}\cdot 1} = \frac{\frac12}{\frac32} = \frac13.$$
Следовательно,
$$\sin\varphi=\frac13.$$
б) Плоскость $$DBC$$
Нормаль к плоскости $$DBC$$ направлена вдоль оси $$BA$$:
$$\vec n_{DBC}=(1,0,0).$$
Тогда
$$\cos\alpha= \frac{\left|\overrightarrow{MN}\cdot \vec n_{DBC}\right|} {|\overrightarrow{MN}|\cdot |\vec n_{DBC}|} = \frac{|{-1}|}{\frac32} = \frac23.$$
Значит,
$$\sin\varphi=\frac23.$$
в) Плоскость $$ABC$$
Нормаль к плоскости $$ABC$$ направлена вдоль оси $$BD$$:
$$\vec n_{ABC}=(0,0,1).$$
Тогда
$$\cos\alpha= \frac{\left|\overrightarrow{MN}\cdot \vec n_{ABC}\right|} {|\overrightarrow{MN}|\cdot |\vec n_{ABC}|} = \frac{|{-1}|}{\frac32} = \frac23.$$
Следовательно,
$$\sin\varphi=\frac23.$$
Ответ: а) $$\frac13$$; б) $$\frac23$$; в) $$\frac23$$.
