Упр.710 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ диагонали грани $$ABCD$$ пересекаются в точке $$N$$, а точка $$M$$ лежит на ребре $$A_1D_1$$, причём $$A_1M : MD_1 = 1 : 4$$. Вычислите синус угла между прямой $$MN$$ и плоскостью грани: а) $$ABCD$$; б) $$DD_1C_1C$$; в) $$AA_1D_1D$$.
Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$A$$ и осями вдоль рёбер куба. Пусть $$AB=a$$. Тогда
$$A(0,0,0),\quad B(a,0,0),\quad D(0,a,0),\quad A_1(0,0,a),\quad D_1(0,a,a).$$
Точка $$N$$ — центр квадрата $$ABCD$$, значит
$$N\left(\frac a2,\frac a2,0\right).$$
Точка $$M$$ лежит на ребре $$A_1D_1$$ и $$A_1M:MD_1=1:4$$, поэтому
$$M\left(0,\frac a5,a\right).$$
Найдём вектор
$$\overrightarrow{MN}=\left(\frac a2,\frac{3a}{10},-a\right).$$
Синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между этой прямой и нормалью к плоскости.
а) Плоскость $$ABCD$$
Нормаль к плоскости $$ABCD$$ можно взять в виде $$\overrightarrow{DD_1}=(0,0,a)$$. Тогда
$$\cos\angle(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{DD_1}) = \frac{\left|\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{DD_1}\right|}{|\overrightarrow{MN}|\cdot |\overrightarrow{DD_1}|} = \frac{a^2}{\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{9a^2}{100}+a^2}\cdot a}.$$
$$|\overrightarrow{MN}|=a\sqrt{\frac14+\frac{9}{100}+1} =a\sqrt{\frac{134}{100}} =\frac{a\sqrt{134}}{10}.$$
Следовательно,
$$\sin\angle(MN,ABCD)=\frac{10}{\sqrt{134}}.$$
б) Плоскость $$DD_1C_1C$$
Нормаль к этой плоскости можно взять в виде $$\overrightarrow{DA}=(0,-a,0)$$. Тогда
$$\cos\angle(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{DA}) = \frac{\left|\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{DA}\right|}{|\overrightarrow{MN}|\cdot |\overrightarrow{DA}|} = \frac{\frac{3a^2}{10}}{\frac{a\sqrt{134}}{10}\cdot a} = \frac{3}{\sqrt{134}}.$$
Значит,
$$\sin\angle(MN,DD_1C_1C)=\frac{3}{\sqrt{134}}.$$
в) Плоскость $$AA_1D_1D$$
Нормаль к этой плоскости можно взять в виде $$\overrightarrow{DC}=(-a,0,0)$$. Тогда
$$\cos\angle(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{DC}) = \frac{\left|\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{DC}\right|}{|\overrightarrow{MN}|\cdot |\overrightarrow{DC}|} = \frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a\sqrt{134}}{10}\cdot a} = \frac{5}{\sqrt{134}}.$$
Следовательно,
$$\sin\angle(MN,AA_1D_1D)=\frac{5}{\sqrt{134}}.$$
Ответ: а) $$\frac{10}{\sqrt{134}}$$; б) $$\frac{3}{\sqrt{134}}$$; в) $$\frac{5}{\sqrt{134}}$$.
