Упр.71 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Изобразите тетраэдр DABC и на ребрах DB, DC и BC отметьте соответственно точки M, N и К. Постройте точку пересечения: а) прямой MN и плоскости ABC; б) прямой KN и плоскости ABD.

Подробный ответ

Точки $$M$$ и $$N$$ лежат в плоскости $$DBC$$, значит прямая $$MN$$ целиком принадлежит плоскости $$DBC$$. Чтобы найти точку пересечения прямой $$MN$$ с плоскостью $$ABC$$, достаточно найти пересечение прямой $$MN$$ с линией пересечения плоскостей $$DBC$$ и $$ABC$$, то есть с прямой $$BC$$.

Проведём прямую $$MN$$ и продолжим её до пересечения с прямой $$BC$$. Обозначим точку пересечения через $$P$$. Тогда $$P$$ и есть искомая точка пересечения прямой $$MN$$ с плоскостью $$ABC$$.

Аналогично, точки $$K$$ и $$N$$ лежат в плоскости $$DBC$$, поэтому прямая $$KN$$ также принадлежит плоскости $$DBC$$. Плоскости $$DBC$$ и $$ABD$$ пересекаются по прямой $$BD$$, следовательно, искомая точка пересечения прямой $$KN$$ с плоскостью $$ABD$$ лежит на прямой $$BD$$.

Продлим прямую $$KN$$ до пересечения с прямой $$BD$$ и обозначим точку пересечения через $$Q$$. Тогда $$Q$$ — точка пересечения прямой $$KN$$ с плоскостью $$ABD$$.