Упр.71 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Изобразите тетраэдр $$DABC$$ и на рёбрах $$DB$$, $$DC$$ и $$BC$$ отметьте соответственно точки $$M$$, $$N$$ и $$K$$. Постройте точку пересечения: а) прямой $$MN$$ и плоскости $$ABC$$; б) прямой $$KN$$ и плоскости $$ABD$$.

Подробный ответ

Так как точки $$M$$, $$N$$ и $$K$$ лежат соответственно на рёбрах $$DB$$, $$DC$$ и $$BC$$, то прямая $$MN$$ лежит в плоскости $$DBC$$, а прямая $$KN$$ — тоже в плоскости $$DBC$$.

Чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью, достаточно построить пересечение этой прямой с линией пересечения двух плоскостей.

Плоскости $$DBC$$ и $$ABC$$ пересекаются по прямой $$BC$$. Поэтому, если продолжить прямые $$MN$$ и $$BC$$, то их точка пересечения и будет искомой точкой пересечения прямой $$MN$$ с плоскостью $$ABC$$.

Обозначим эту точку через $$P$$. Тогда $$P=MN\cap BC$$.

Аналогично, плоскости $$DBC$$ и $$ABD$$ пересекаются по прямой $$BD$$. Поэтому, если продолжить прямые $$KN$$ и $$BD$$, то их точка пересечения и будет искомой точкой пересечения прямой $$KN$$ с плоскостью $$ABD$$.

Обозначим эту точку через $$Q$$. Тогда $$Q=KN\cap BD$$.

Ответ: а) $$P=MN\cap BC$$; б) $$Q=KN\cap BD$$.