Упр.709 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ $$AB=1$$, $$BC=2$$, $$BB_1=3$$. Вычислите косинус угла между прямыми:
а) $$AC$$ и $$D_1B$$;
б) $$AB_1$$ и $$BC_1$$;
в) $$A_1D$$ и $$AC_1$$.
Введём прямоугольную систему координат так, чтобы точка $$A$$ была началом координат, а оси были направлены вдоль рёбер параллелепипеда. Тогда
$$A(0,0,0),\quad B(1,0,0),\quad C(1,2,0),\quad D(0,2,0),$$
$$A_1(0,0,3),\quad B_1(1,0,3),\quad C_1(1,2,3),\quad D_1(0,2,3).$$
Косинус угла между прямыми найдём по формуле
$$\cos\varphi=\frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a|\cdot |\vec b|}.$$
а) Для прямых $$AC$$ и $$D_1B$$ возьмём направляющие векторы
$$\overrightarrow{AC}=(1,2,0),\qquad \overrightarrow{D_1B}=(1,-2,-3).$$
$$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{D_1B}=1\cdot 1+2\cdot(-2)+0\cdot(-3)=-3,$$
$$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5,\qquad |\overrightarrow{D_1B}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{14}.$$
$$\cos\varphi=\frac{-3}{\sqrt5\cdot \sqrt{14}}=-\frac{3}{\sqrt{70}}.$$
Так как требуется косинус угла между прямыми, берём его по модулю:
$$\cos\varphi=\frac{3}{\sqrt{70}}.$$
б) Для прямых $$AB_1$$ и $$BC_1$$ имеем
$$\overrightarrow{AB_1}=(1,0,3),\qquad \overrightarrow{BC_1}=(0,2,3).$$
$$\overrightarrow{AB_1}\cdot \overrightarrow{BC_1}=1\cdot 0+0\cdot 2+3\cdot 3=9,$$
$$|\overrightarrow{AB_1}|=\sqrt{1^2+0^2+3^2}=\sqrt{10},\qquad |\overrightarrow{BC_1}|=\sqrt{0^2+2^2+3^2}=\sqrt{13}.$$
$$\cos\varphi=\frac{9}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{13}}=\frac{9}{\sqrt{130}}.$$
в) Для прямых $$A_1D$$ и $$AC_1$$ возьмём векторы
$$\overrightarrow{A_1D}=(0,2,-3),\qquad \overrightarrow{AC_1}=(1,2,3).$$
$$\overrightarrow{A_1D}\cdot \overrightarrow{AC_1}=0\cdot 1+2\cdot 2+(-3)\cdot 3=4-9=-5,$$
$$|\overrightarrow{A_1D}|=\sqrt{0^2+2^2+(-3)^2}=\sqrt{13},\qquad |\overrightarrow{AC_1}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}.$$
$$\cos\varphi=\frac{|-5|}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{14}}=\frac{5}{\sqrt{182}}.$$
Ответ: а) $$\frac{3}{\sqrt{70}}$$; б) $$\frac{9}{\sqrt{130}}$$; в) $$\frac{5}{\sqrt{182}}$$.
