Упр.709 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 1, BC = 2, BB1 = 3. Вычислите косинус угла между прямыми: а) AC и D1B; б) AB1 и BC1; в) A1D и AC1.

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$A$$, оси направим вдоль рёбер параллелепипеда:

$$A(0;0;0),\quad B(1;0;0),\quad D(0;2;0),\quad A_1(0;0;3).$$

Тогда

$$C(1;2;0),\quad B_1(1;0;3),\quad C_1(1;2;3),\quad D_1(0;2;3).$$

Косинус угла между прямыми найдём по формуле для скалярного произведения направляющих векторов:

$$\cos \varphi=\frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a|\cdot |\vec b|}.$$

а) Для прямых $$AC$$ и $$D_1B$$ возьмём векторы

$$\overrightarrow{AC}=(1;2;0),\qquad \overrightarrow{D_1B}=(1;-2;-3).$$

Тогда

$$ \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{D_1B} =1\cdot 1+2\cdot(-2)+0\cdot(-3)=-3, $$

$$ |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5,\qquad |\overrightarrow{D_1B}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{14}. $$

$$ \cos \angle(AC,D_1B)=\frac{-3}{\sqrt5\cdot \sqrt{14}}=-\frac{3}{\sqrt{70}}. $$

Так как угол между прямыми берут меньший, то его косинус положителен по модулю:

$$\cos \angle(AC,D_1B)=\frac{3}{\sqrt{70}}.$$

б) Для прямых $$AB_1$$ и $$BC_1$$ имеем

$$\overrightarrow{AB_1}=(1;0;3),\qquad \overrightarrow{BC_1}=(0;2;3).$$

$$ \overrightarrow{AB_1}\cdot \overrightarrow{BC_1} =1\cdot 0+0\cdot 2+3\cdot 3=9, $$

$$ |\overrightarrow{AB_1}|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10},\qquad |\overrightarrow{BC_1}|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}. $$

$$ \cos \angle(AB_1,BC_1)=\frac{9}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{13}}=\frac{9}{\sqrt{130}}. $$

в) Для прямых $$A_1D$$ и $$AC_1$$ возьмём векторы

$$\overrightarrow{A_1D}=(0;2;-3),\qquad \overrightarrow{AC_1}=(1;2;3).$$

$$ \overrightarrow{A_1D}\cdot \overrightarrow{AC_1} =0\cdot 1+2\cdot 2+(-3)\cdot 3=4-9=-5, $$

$$ |\overrightarrow{A_1D}|=\sqrt{0^2+2^2+(-3)^2}=\sqrt{13},\qquad |\overrightarrow{AC_1}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}. $$

$$ \cos \angle(A_1D,AC_1)=\frac{5}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{14}}=\frac{5}{\sqrt{182}}. $$

Ответ

а) $$\frac{3}{\sqrt{70}}$$; б) $$\frac{9}{\sqrt{130}}$$; в) $$\frac{5}{\sqrt{182}}$$.