Упр.707 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ точка $$M$$ лежит на ребре $$AA_1$$, причём $$AM:MA_1=3:1$$, а точка $$N$$ — середина ребра $$BC$$. Вычислите косинус угла между прямыми: а) $$MN$$ и $$DD_1$$; б) $$MN$$ и $$BD$$; в) $$MN$$ и $$B_1D$$; г) $$MN$$ и $$A_1C$$.

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$A$$, оси направим вдоль рёбер куба. Тогда

$$A(0,0,0),\; B(a,0,0),\; C(a,a,0),\; D(0,a,0),$$

$$A_1(0,0,a),\; B_1(a,0,a),\; C_1(a,a,a),\; D_1(0,a,a).$$

Так как $$AM:MA_1=3:1$$, то

$$M\left(0,0,\frac{3a}{4}\right).$$

Точка $$N$$ — середина ребра $$BC$$, значит

$$N\left(a,\frac{a}{2},0\right).$$

Найдём вектор

$$\overrightarrow{MN}=\left(a,\frac{a}{2},-\frac{3a}{4}\right).$$

Для угла между прямыми используем формулу

$$\cos\varphi=\frac{|\vec u\cdot \vec v|}{|\vec u|\cdot|\vec v|}.$$

а)

$$\overrightarrow{DD_1}=(0,0,a).$$

Тогда

$$\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{DD_1}=a\cdot 0+\frac{a}{2}\cdot 0-\frac{3a}{4}\cdot a=-\frac{3a^2}{4},$$

$$|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}+\frac{9a^2}{16}}=\frac{a\sqrt{29}}{4},\qquad |\overrightarrow{DD_1}|=a.$$

Следовательно,

$$\cos\angle(MN,DD_1)=\frac{3}{\sqrt{29}}.$$

б)

$$\overrightarrow{BD}=(-a,a,0).$$

Тогда

$$\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{BD}=a(-a)+\frac{a}{2}\cdot a-\frac{3a}{4}\cdot 0=-\frac{a^2}{2}.$$

Значит,

$$\cos\angle(MN,BD)=\frac{\left|-\frac{a^2}{2}\right|}{\frac{a\sqrt{29}}{4}\cdot a\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{58}}.$$

в)

$$\overrightarrow{B_1D}=(-a,a,-a).$$

Тогда

$$\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{B_1D}=a(-a)+\frac{a}{2}\cdot a-\frac{3a}{4}\cdot(-a)=\frac{a^2}{4}.$$

Кроме того,

$$|\overrightarrow{B_1D}|=a\sqrt{3}.$$

Следовательно,

$$\cos\angle(MN,B_1D)=\frac{\frac{a^2}{4}}{\frac{a\sqrt{29}}{4}\cdot a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{87}}.$$

г)

$$\overrightarrow{A_1C}=(a,a,-a).$$

Тогда

$$\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{A_1C}=a\cdot a+\frac{a}{2}\cdot a-\frac{3a}{4}\cdot(-a)=\frac{9a^2}{4}.$$

Следовательно,

$$\cos\angle(MN,A_1C)=\frac{\frac{9a^2}{4}}{\frac{a\sqrt{29}}{4}\cdot a\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{29}}.$$

Ответ: а) $$\frac{3}{\sqrt{29}}$$; б) $$\frac{2}{\sqrt{58}}$$; в) $$\frac{1}{\sqrt{87}}$$; г) $$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{29}}$$.