Упр.706 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дана правильная треугольная призма $$ABCA_1B_1C_1$$, в которой $$AA_1=\sqrt{2}AB$$ (рис. 139, а). Найдите угол между прямыми $$AC_1$$ и $$A_1B$$.

Пусть $$AB=a,$$ тогда $$AA_1=\sqrt{2}\,a.$$

Введём прямоугольную систему координат так, чтобы

$$C(0,0,0),\quad B(0,a,0),\quad A\left(\frac{a\sqrt{3}}{2},\frac{a}{2},0\right).$$

Так как призма правильная, то верхние вершины получаются параллельным переносом на вектор $$\overrightarrow{CC_1}$$, причём

$$C_1(0,0,a\sqrt{2}),\quad B_1(0,a,a\sqrt{2}),\quad A_1\left(\frac{a\sqrt{3}}{2},\frac{a}{2},a\sqrt{2}\right).$$

Найдём направляющие векторы прямых $$AC_1$$ и $$A_1B$$:

$$\overrightarrow{AC_1}=\left(-\frac{a\sqrt{3}}{2},-\frac{a}{2},a\sqrt{2}\right),$$

$$\overrightarrow{BA_1}=\left(\frac{a\sqrt{3}}{2},-\frac{a}{2},a\sqrt{2}\right).$$

Тогда

$$\overrightarrow{AC_1}\cdot \overrightarrow{BA_1}=-\frac{3}{4}a^2+\frac{1}{4}a^2+2a^2=\frac{3}{2}a^2,$$

а длины этих векторов равны:

$$|\overrightarrow{AC_1}|=|\overrightarrow{BA_1}|=\sqrt{\frac{3}{4}a^2+\frac{1}{4}a^2+2a^2}=\sqrt{3}\,a.$$

Следовательно,

$$\cos\varphi=\frac{\overrightarrow{AC_1}\cdot \overrightarrow{BA_1}}{|\overrightarrow{AC_1}|\cdot |\overrightarrow{BA_1}|}=\frac{\frac{3}{2}a^2}{3a^2}=\frac{1}{2}.$$

Значит,

$$\varphi=60^\circ.$$

Ответ

$$60^\circ$$