Упр.705 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Вычислите угол между прямыми AB и CD, если: а) A (3; -2; 4), B (4; -1; 2), C (6; -3; 2), D (7; -3; 1); б) A (5; -8; -1), B (6; -8; -2), C (7; -5; -11), D (7; -7; -9); в) A (1; 0; 2), B (2; 1; 0), C (0; -2; -4), D (-2; -4; 0); г) A (^; -15; 7), B (-7; -15; 8), C (14; -10; 9), D (14; -10; 7).

Найдём направляющие векторы прямых $$AB$$ и $$CD$$ и вычислим угол между ними по формуле

$$\cos \varphi=\frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a|\cdot |\vec b|}.$$

При этом если полученный угол между векторами окажется тупым, то угол между прямыми берём острый, то есть $$180^\circ-\varphi$$.

а) $$\vec{AB}=(4-3;\,-1-(-2);\;2-4)=(1;1;-2),$$ $$\vec{CD}=(7-6;\,-3-(-3);\;1-2)=(1;0;-1).$$

$$\vec{AB}\cdot \vec{CD}=1\cdot 1+1\cdot 0+(-2)\cdot(-1)=3,$$

$$|\vec{AB}|=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt6,\qquad |\vec{CD}|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt2.$$

$$\cos \varphi=\frac{3}{\sqrt6\cdot \sqrt2}=\frac{3}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt3}{2},$$

значит, $$\varphi=30^\circ.$$

б) $$\vec{AB}=(6-5;\,-8-(-8);\,-2-(-1))=(1;0;-1),$$ $$\vec{CD}=(7-7;\,-7-(-5);\,-9-(-11))=(0;-2;2).$$

$$\vec{AB}\cdot \vec{CD}=1\cdot 0+0\cdot(-2)+(-1)\cdot 2=-2,$$

$$|\vec{AB}|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt2,\qquad |\vec{CD}|=\sqrt{0^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt8.$$

$$\cos \varphi=\frac{-2}{\sqrt2\cdot \sqrt8}=-\frac12.$$

Угол между векторами равен $$120^\circ$$, значит, угол между прямыми:

$$180^\circ-120^\circ=60^\circ.$$

в) $$\vec{AB}=(2-1;\,1-0;\,0-2)=(1;1;-2),$$ $$\vec{CD}=(-2-0;\,-4-(-2);\;0-(-4))=(-2;-2;4).$$

Заметим, что $$\vec{CD}=-2\vec{AB},$$ то есть векторы противоположно направлены.

Проверим по формуле:

$$\vec{AB}\cdot \vec{CD}=1\cdot(-2)+1\cdot(-2)+(-2)\cdot 4=-12,$$

$$|\vec{AB}|=\sqrt6,\qquad |\vec{CD}|=\sqrt{4+4+16}=\sqrt{24}.$$

$$\cos \varphi=\frac{-12}{\sqrt6\cdot \sqrt{24}}=-1,$$

следовательно, $$\varphi=180^\circ,$$ а угол между прямыми равен $$0^\circ.$$

г) $$\vec{AB}=(-7-(-6);\,-15-(-15);\;8-7)=(-1;0;1),$$ $$\vec{CD}=(14-14;\,-10-(-10);\;7-9)=(0;0;-2).$$

$$\vec{AB}\cdot \vec{CD}=(-1)\cdot 0+0\cdot 0+1\cdot(-2)=-2,$$

$$|\vec{AB}|=\sqrt{(-1)^2+0^2+1^2}=\sqrt2,\qquad |\vec{CD}|=\sqrt{0^2+0^2+(-2)^2}=2.$$

$$\cos \varphi=\frac{-2}{\sqrt2\cdot 2}=-\frac{\sqrt2}{2},$$

значит, $$\varphi=135^\circ,$$ а угол между прямыми:

$$180^\circ-135^\circ=45^\circ.$$

Ответ

а) $$30^\circ$$; б) $$60^\circ$$; в) $$0^\circ$$; г) $$45^\circ$$.