Упр.705 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Вычислите угол между прямыми $$AB$$ и $$CD$$, если:
   а) $$A(3; -2; 4),\ B(4; -1; 2),\ C(6; -3; 2),\ D(7; -3; 1)$$;
   б) $$A(5; -8; -1),\ B(6; -8; -2),\ C(7; -5; -11),\ D(7; -7; -9)$$;
   в) $$A(1; 0; 2),\ B(2; 1; 0),\ C(0; -2; -4),\ D(-2; -4; 0)$$;
   г) $$A(^; -15; 7),\ B(-7; -15; 8),\ C(14; -10; 9),\ D(14; -10; 7)$$.

Найдём направляющие векторы прямых:

$$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\,y_B-y_A;\,z_B-z_A),\qquad \overrightarrow{CD}=(x_D-x_C;\,y_D-y_C;\,z_D-z_C).$$

Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами, поэтому используем формулу

$$\cos\varphi=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{CD}|}.$$

1. а) $$\overrightarrow{AB}=(4-3;\,-1-(-2);\;2-4)=(1;1;-2),$$

   $$\overrightarrow{CD}=(7-6;\,-3-(-3);\;1-2)=(1;0;-1).$$

   $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=1\cdot1+1\cdot0+(-2)\cdot(-1)=3,$$
   $$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt6,\qquad |\overrightarrow{CD}|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt2.$$

   $$\cos\varphi=\frac{3}{\sqrt6\cdot\sqrt2}=\frac{3}{2\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{2},$$
   значит,
   $$\varphi=30^\circ.$$

2. б) $$\overrightarrow{AB}=(6-5;\,-8-(-8);\,-2-(-1))=(1;0;-1),$$

   $$\overrightarrow{CD}=(7-7;\,-7-(-5);\,-9-(-11))=(0;-2;2).$$

   $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=1\cdot0+0\cdot(-2)+(-1)\cdot2=-2,$$
   $$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt2,\qquad |\overrightarrow{CD}|=\sqrt{0^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt8=2\sqrt2.$$

   $$\cos\varphi=\frac{-2}{\sqrt2\cdot2\sqrt2}=-\frac12.$$
   Так как угол между прямыми берут меньший, то
   $$\varphi=60^\circ.$$

3. в) $$\overrightarrow{AB}=(2-1;\,1-0;\,0-2)=(1;1;-2),$$

   $$\overrightarrow{CD}=(-2-0;\,-4-(-2);\;0-(-4))=(-2;-2;4).$$

   Заметим, что $$\overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{AB},$$ значит, векторы противоположно направлены.

   $$\cos\varphi=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{CD}|}=-1,$$
   следовательно,
   $$\varphi=0^\circ.$$

4. г) $$\overrightarrow{AB}=(-7-(-6);\,-15-(-15);\;8-7)=(-1;0;1),$$

   $$\overrightarrow{CD}=(14-14;\,-10-(-10);\;7-9)=(0;0;-2).$$

   $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=(-1)\cdot0+0\cdot0+1\cdot(-2)=-2,$$
   $$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-1)^2+0^2+1^2}=\sqrt2,\qquad |\overrightarrow{CD}|=\sqrt{0^2+0^2+(-2)^2}=2.$$

   $$\cos\varphi=\frac{-2}{\sqrt2\cdot2}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$
   Тогда меньший угол между прямыми равен
   $$\varphi=45^\circ.$$

Ответ: а) $$30^\circ$$; б) $$60^\circ$$; в) $$0^\circ$$; г) $$45^\circ$$.