Упр.704 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B тетраэдре ABCD противоположные ребра AD и ВС, а также BD и AC перпендикулярны. Докажите, что противоположные ребра CD и AB также перпендикулярны. Решение ^ ^ _^_ д Введем векторы а = DA, b = DB, с = DC (рис. 138). Тогда AB = b- а, AC = с — a, BC = с — b. По условию AD ± BC и BD L AC, поэтому ai(c-ft)nfti(c-a). Следовательно, a(c-b) = 0 и fe(c-a) = 0.

Подробный ответ

Введём векторы $$\vec a=\overrightarrow{DA},\quad \vec b=\overrightarrow{DB},\quad \vec c=\overrightarrow{DC}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a,\quad \overrightarrow{AC}=\vec c-\vec a,\quad \overrightarrow{BC}=\vec c-\vec b.$$

По условию $$AD\perp BC$$ и $$BD\perp AC$$, значит

$$\vec a\perp(\vec c-\vec b),\quad \vec b\perp(\vec c-\vec a).$$

Следовательно,

$$\vec a\cdot(\vec c-\vec b)=0,\quad \vec b\cdot(\vec c-\vec a)=0.$$

Отсюда получаем

$$\vec a\cdot\vec c=\vec a\cdot\vec b,\quad \vec b\cdot\vec c=\vec b\cdot\vec a.$$

Из этих равенств следует, что

$$\vec a\cdot\vec c=\vec b\cdot\vec c,$$