Упр.703 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ $$AA_1=AB=AD=1$$, $$\angle DAB=60^\circ$$, $$\angle A_1AD=\angle A_1AB=90^\circ$$. Вычислите: а) $$\angle BAD_1$$; б) $$\angle BC_1D_1$$; в) $$\angle AC_1A_1$$; г) $$|DB_1|$$; д) $$|A_1C|$$.

Рассмотрим параллелепипед как прямоугольный в направлениях $$AA_1$$ и основания. Так как $$AA_1=AB=AD=1$$, $$\angle DAB=60^\circ$$, $$AA_1\perp AB$$ и $$AA_1\perp AD$$, то в основании $$ABCD$$ лежит ромб со стороной $$1$$ и углом $$60^\circ$$.

Найдём нужные длины и скалярные произведения.

В ромбе $$ABCD$$ диагонали равны:

$$AC=2\cdot AB\cdot \cos 30^\circ=\sqrt{3}, \qquad BD=2\cdot AB\cdot \sin 30^\circ=1.$$

Кроме того, в прямоугольных треугольниках $$DBB_1$$ и $$AA_1C$$ получаем:

$$DB_1=\sqrt{DB^2+BB_1^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2},$$
$$A_1C=\sqrt{AA_1^2+AC^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2.$$

Теперь вычислим требуемые значения.

1. $$\cos\angle(BA,D_1C_1)=-1,$$
   так как $$BA\parallel D_1C_1$$, но векторы направлены противоположно.

2. $$\vec{BC_1}=\vec{BC}+\vec{CC_1}=\vec{AD}+\vec{AA_1},$$
   $$\vec{D_1B}=\vec{D_1C_1}+\vec{C_1C}+\vec{CB}=\vec{AB}-\vec{AA_1}-\vec{AD}.$$
   Тогда
   $$\vec{BC_1}\cdot \vec{D_1B} =(\vec{AD}+\vec{AA_1})(\vec{AB}-\vec{AA_1}-\vec{AD})$$
   $$=\vec{AD}\cdot\vec{AB}-|\vec{AD}|^2-|\vec{AA_1}|^2 =1\cdot 1\cdot \cos 60^\circ-1-1 =-\frac{3}{2}.$$

3. $$\vec{AC_1}=\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{AA_1}.$$
   Тогда
   $$\vec{AC_1}\cdot \vec{AC_1} =|\vec{AB}|^2+|\vec{AD}|^2+|\vec{AA_1}|^2+2\vec{AB}\cdot\vec{AD} =1+1+1+2\cdot \cos 60^\circ=4.$$

4. $$|DB_1|=\sqrt{DB^2+BB_1^2}=\sqrt{2}.$$

5. $$|A_1C|=2.$$

6. $$\vec{DA_1}=\vec{AA_1}-\vec{AD}, \qquad \vec{D_1B}=\vec{AB}-\vec{AD}-\vec{AA_1}.$$
   Тогда
   $$\vec{DA_1}\cdot \vec{D_1B} =(\vec{AA_1}-\vec{AD})(\vec{AB}-\vec{AD}-\vec{AA_1}) =-\frac{1}{2}.$$
   Следовательно,
   $$\cos\angle(\vec{DA_1},\vec{D_1B}) =\frac{-\frac12}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}} =-\frac14.$$

7. $$\vec{AC_1}=\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{AA_1}, \qquad \vec{DB_1}=\vec{AB}-\vec{AD}+\vec{AA_1}.$$
   Тогда
   $$\vec{AC_1}\cdot \vec{DB_1}=1,$$
   а значит
   $$\cos\angle(\vec{AC_1},\vec{DB_1}) =\frac{1}{|AC_1|\cdot |DB_1|} =\frac{1}{2\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}}{4}.$$

Ответ: а) $$-1$$; б) $$-\dfrac{3}{2}$$; в) $$4$$; г) $$\sqrt{2}$$; д) $$2$$; е) $$-\dfrac14$$; ж) $$\dfrac{\sqrt2}{4}$$.