Упр.702 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Все рёбра тетраэдра ABCD равны друг другу. Точки M и N — середины рёбер AD и BC. Докажите, что $$MN \perp AD$$ и $$MN \perp BC$$.

Подробный ответ

Обозначим векторы $$\overrightarrow{DA}=\vec a,\quad \overrightarrow{DB}=\vec b,\quad \overrightarrow{DC}=\vec c.$$

Так как все рёбра тетраэдра равны, то

$$|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|,\qquad \angle(\vec a,\vec b)=\angle(\vec b,\vec c)=\angle(\vec c,\vec a)=60^\circ.$$

Точки $$M$$ и $$N$$ — середины рёбер $$AD$$ и $$BC$$, значит

$$\overrightarrow{DM}=\frac12\vec a,\qquad \overrightarrow{BN}=\frac12\overrightarrow{BC}=\frac12(\vec c-\vec b).$$

Тогда

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BN}=-\frac12\vec a+\vec b+\frac12(\vec c-\vec b)=\frac12(\vec b-\vec a+\vec c).$$

Найдём скалярное произведение:

$$\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{AD} =\frac12(\vec b-\vec a+\vec c)\cdot\vec a =\frac12(\vec b\cdot\vec a-\vec a\cdot\vec a+\vec c\cdot\vec a).$$

Так как

$$\vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2=a^2,$$

а также

$$\vec a\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec c=|\vec a||\vec b|\cos 60^\circ=\frac{a^2}{2},$$

то

$$\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{AD} =\frac12\left(\frac{a^2}{2}-a^2+\frac{a^2}{2}\right)=0.$$

Следовательно, $$MN\perp AD$$.

Аналогично рассматриваем скалярное произведение $$\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{BC}$$ и получаем $$0$$, значит $$MN\perp BC$$.

Итак, $$MN$$ перпендикулярна и $$AD$$, и $$BC$$.