Упр.702 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Bce ребра тетраэдра ABCD равны друг другу. Точки M и N — середины ребер AD и ВС. Докажите, что MN AD = MN BC — 0.

Подробный ответ

Обозначим векторы $$\overrightarrow{DA}=\vec a,$$ $$\overrightarrow{DB}=\vec b,$$ $$\overrightarrow{DC}=\vec c.$$ Так как все ребра тетраэдра равны, то

$$|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|,$$

а углы между любыми двумя из этих векторов равны $$60^\circ$$, значит

$$\vec a\cdot \vec b=\vec a\cdot \vec c=\vec b\cdot \vec c=\frac{a^2}{2},$$

где $$a=AB=BC=CA=AD=BD=CD.$$

Точки $$M$$ и $$N$$ — середины ребер $$AD$$ и $$BC$$, поэтому

$$\overrightarrow{DM}=\frac12\vec a,\qquad \overrightarrow{BN}=\frac12\overrightarrow{BC}=\frac12(\vec c-\vec b).$$

Тогда

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BN}=-\frac12\vec a+\vec b+\frac12(\vec c-\vec b)=\frac12(-\vec a+\vec b+\vec c).$$

Найдем скалярное произведение:

$$ \overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{AD} =\frac12(-\vec a+\vec b+\vec c)\cdot \vec a =\frac12\left(-\vec a\cdot \vec a+\vec b\cdot \vec a+\vec c\cdot \vec a\right). $$

Подставим значения:

$$ \overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{AD} =\frac12\left(-a^2+\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}\right)=0. $$

Значит, $$\overrightarrow{MN}\perp \overrightarrow{AD}.$$ Аналогично получаем

$$\overrightarrow{MN}\perp \overrightarrow{BC}.$$

Следовательно, $$MN$$ перпендикулярна и $$AD$$, и $$BC$$.