Упр.701 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что координаты ненулевого вектора в прямоугольной си- ^4^ стеме координат paBHbi{|a|cos9^|a|cos92;|a|coscp3}, гдеф^аГ, ^V1 Xs ф2 =af, ф3 =d^T. Решение Если вектор а имеет координаты {x; у; г), то a = xi + yj + zk. Умножив это равенство скалярно на i и используя свойства скалярного произведения, получим ai = (xi + yj + zk) i = x (i i) + у (j i) + z (Я/)• Так как ГГ = 1, Ji = 0, ki = 0, то a Г = x. C другой стороны, по определению скалярного произведения a i = | а 11 i \ cos ф! = | а \ cos фР Таким образом, x =|a| cos ф[. Аналогично получаем равенства у=|а|совф2, 2=|а|совф3.

Подробный ответ

Если вектор $$\vec a$$ имеет координаты $$\left(x;y;z\right),$$ то

$$\vec a=x\vec i+y\vec j+z\vec k.$$

Умножим это равенство скалярно на $$\vec i$$:

$$\vec a\cdot \vec i=\left(x\vec i+y\vec j+z\vec k\right)\cdot \vec i=x\left(\vec i\cdot \vec i\right)+y\left(\vec j\cdot \vec i\right)+z\left(\vec k\cdot \vec i\right).$$

Так как $$\vec i\cdot \vec i=1,$$ $$\vec j\cdot \vec i=0,$$ $$\vec k\cdot \vec i=0,$$ то

$$\vec a\cdot \vec i=x.$$

С другой стороны, по определению скалярного произведения

так как $$|\vec i|=1.$$ Следовательно,

$$x=|\vec a|\cos\varphi_1.$$

Аналогично получаем:

$$y=|\vec a|\cos\varphi_2,\qquad z=|\vec a|\cos\varphi_3.$$

Значит, координаты ненулевого вектора $$\vec a$$ в прямоугольной системе координат равны