Упр.700 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ перпендикулярны к вектору $$\vec c$$, $$\angle(\vec a,\vec b)=120^\circ$$, $$|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1$$. Вычислите:
   а) скалярные произведения $$(\vec a+\vec b+\vec c)\cdot 2\vec b$$ и $$(\vec a-\vec b+\vec c)\cdot(\vec a-\vec c)$$;
   б) $$|\vec a-\vec b|$$ и $$|\vec a+\vec b-\vec c|$$.

Так как $$\vec a\perp \vec c$$ и $$\vec b\perp \vec c,$$ то

$$\vec a\cdot \vec c=0,\qquad \vec b\cdot \vec c=0.$$

Кроме того, $$|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1,$$ а угол между $$\vec a$$ и $$\vec b$$ равен $$120^\circ,$$ значит

$$\vec a\cdot \vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos 120^\circ=-\frac12.$$

а)

Вычислим первое скалярное произведение:

$$(\vec a+\vec b+\vec c)\cdot 2\vec b =2(\vec a\cdot \vec b+\vec b\cdot \vec b+\vec c\cdot \vec b).$$

Подставим значения:

$$2\left(-\frac12+1+0\right)=2\cdot \frac12=1.$$

Теперь найдём второе:

$$(\vec a-\vec b+\vec c)\cdot (\vec a-\vec c)$$

$$=\vec a\cdot \vec a-\vec a\cdot \vec c-\vec b\cdot \vec a+\vec b\cdot \vec c+\vec c\cdot \vec a-\vec c\cdot \vec c.$$

С учётом условий получаем:

$$1-0-\left(-\frac12\right)+0+0-1=\frac12.$$

б)

$$|\vec a-\vec b| =\sqrt{|\vec a|^2+|\vec b|^2-2|\vec a|\,|\vec b|\cos 120^\circ} =\sqrt{1+1-2\cdot 1\cdot 1\cdot \left(-\frac12\right)} =\sqrt3.$$

$$|\vec a+\vec b-\vec c| =\sqrt{|\vec a+\vec b|^2+|\vec c|^2}.$$

Найдём сначала $$|\vec a+\vec b|^2$$:

$$|\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2+2\vec a\cdot \vec b =1+1+2\cdot\left(-\frac12\right)=1.$$

Тогда

$$|\vec a+\vec b-\vec c| =\sqrt{1+1} =\sqrt2.$$

Ответ: а) $$1$$ и $$\frac12$$; б) $$\sqrt3$$ и $$\sqrt2$$.