Упр.70 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что плоскость, проходящая через середины ребер AB, AC и AD тетраэдра ABCD, параллельна плоскости BCD.

Подробный ответ

Обозначим середины рёбер $$AB, AC, AD$$ через $$M, N, P$$ соответственно.

Рассмотрим треугольник $$ACD$$. Так как точки $$N$$ и $$P$$ — середины сторон $$AC$$ и $$AD$$, то отрезок $$NP$$ является средней линией треугольника $$ACD$$. Следовательно,

$$NP \parallel CD.$$

Аналогично, в треугольнике $$ABC$$ точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AC$$, значит,

$$MN \parallel BC.$$

В плоскости $$MNP$$ лежат две пересекающиеся прямые $$MN$$ и $$NP$$, причём $$MN \parallel BC$$ и $$NP \parallel CD$$, а прямые $$BC$$ и $$CD$$ лежат в плоскости $$BCD$$ и пересекаются.

По признаку параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны. Значит,

$$MNP \parallel BCD.$$