Упр.70 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер $$AB$$, $$AC$$ и $$AD$$ тетраэдра $$ABCD$$, параллельна плоскости $$BCD$$.

Рассмотрим треугольник $$ACD$$. Так как точки $$N$$ и $$P$$ — середины рёбер $$AC$$ и $$AD$$, то отрезок $$NP$$ является средней линией треугольника $$ACD$$. Следовательно,

$$NP \parallel CD.$$

Аналогично, в треугольнике $$ABC$$ точки $$M$$ и $$N$$ — середины рёбер $$AB$$ и $$AC$$, значит, отрезок $$MN$$ — средняя линия этого треугольника. Поэтому

$$MN \parallel BC.$$

В плоскости $$MNP$$ лежат две пересекающиеся прямые $$MN$$ и $$NP$$, причём $$MN \parallel BC$$ и $$NP \parallel CD$$. Прямые $$BC$$ и $$CD$$ пересекаются и лежат в плоскости $$BCD$$.

По признаку параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны. Значит,

$$\text{плоскость } MNP \parallel \text{плоскости } BCD.$$