Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.7 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ — основания высот треугольника $$ABC$$. Углы треугольника $$A_1B_1C_1$$ равны $$90^\circ$$, $$60^\circ$$ и $$30^\circ$$. Найдите углы треугольника $$ABC$$.

Обозначим углы треугольника $$ABC$$ через $$\angle A,\ \angle B,\ \angle C$$.

Так как $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ — основания высот, то точки $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ образуют ортотреугольник треугольника $$ABC$$. Для него выполняются соотношения:

$$\angle A_1=180^\circ-2\angle A,$$
$$\angle B_1=180^\circ-2\angle B,$$
$$\angle C_1=180^\circ-2\angle C.$$

Отсюда:

$$\angle A=\frac{180^\circ-\angle A_1}{2}=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ,$$
$$\angle B=\frac{180^\circ-\angle B_1}{2}=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ,$$
$$\angle C=\frac{180^\circ-\angle C_1}{2}=\frac{180^\circ-30^\circ}{2}=75^\circ.$$

Проверим по сумме углов треугольника:

$$45^\circ+60^\circ+75^\circ=180^\circ.$$

Следовательно, углы треугольника $$ABC$$ равны $$45^\circ,\ 60^\circ,\ 75^\circ$$.

Ответ: $$45^\circ,\ 60^\circ,\ 75^\circ$$.