Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.7 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ все рёбра равны $$1$$. Найдите косинус угла между прямыми $$AB$$ и $$A_1C$$.

В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ все рёбра равны $$1$$. Тогда $$AB \parallel A_1B_1$$, поэтому угол между прямыми $$AB$$ и $$A_1C$$ равен углу $$B_1A_1C$$.

Рассмотрим треугольник $$AA_1C$$. Он прямоугольный, так как $$AA_1 \perp (ABC)$$, а значит $$AA_1 \perp AC$$. Тогда

$$A_1C=\sqrt{AA_1^2+AC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$A_1B_1C$$. По теореме косинусов:

$$CB_1^2=A_1B_1^2+A_1C^2-2\cdot A_1B_1\cdot A_1C\cos \angle B_1A_1C.$$

Подставим известные значения:

$$2=1^2+(\sqrt2)^2-2\cdot 1\cdot \sqrt2\cos \angle B_1A_1C,$$

$$2=1+2-2\sqrt2\cos \angle B_1A_1C,$$

$$2\sqrt2\cos \angle B_1A_1C=1,$$

$$\cos \angle B_1A_1C=\frac{1}{2\sqrt2}.$$

Следовательно,

Ответ: $$\frac{1}{2\sqrt2}$$.