Подготовка к ЕГЭ Задание 8 Упр.7 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В правильной шестиугольной призме $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ все рёбра равны $$49$$. Найдите угол $$E_1EA_1$$. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим треугольник $$E_1F_1A_1.$$

Так как призма правильная, то основание — правильный шестиугольник, а все боковые рёбра перпендикулярны основанию. Поэтому

$$E_1F_1=F_1A_1=AB=49,$$

а угол между сторонами правильного шестиугольника равен $$120^\circ.$$

По теореме косинусов:

$$E_1A_1^2=E_1F_1^2+F_1A_1^2-2\cdot E_1F_1\cdot F_1A_1\cos 120^\circ$$

$$E_1A_1^2=49^2+49^2-2\cdot 49\cdot 49\cdot\left(-\frac12\right)=3\cdot 49^2,$$

значит

$$E_1A_1=49\sqrt3.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$E_1A_1E.$$ В нём

$$EE_1=49,\qquad EA_1=E_1A_1=49\sqrt3.$$

Тогда

$$\tan \angle E=\frac{EA_1}{EE_1}=\frac{49\sqrt3}{49}=\sqrt3,$$

откуда

$$\angle E=60^\circ.$$

Следовательно, $$\angle E_1EA_1=60^\circ.$$

Ответ: $$60^\circ$$.