Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.7 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точки A_1, B_1 и C_1 — основания высот треугольника АВС. Углы треугольника A_1B_1C_1 равны 90°, 60° и 30°. Найдите углы треугольника АВС.

Обозначим углы треугольника $$ABC$$ через $$\angle A,\ \angle B,\ \angle C$$. Точки $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ — основания высот, поэтому треугольник $$A_1B_1C_1$$ является ортотреугольником треугольника $$ABC$$.

Для ортотреугольника верно:

$$\angle A_1=180^\circ-2\angle A,\qquad \angle B_1=180^\circ-2\angle B,\qquad \angle C_1=180^\circ-2\angle C.$$

Отсюда:

$$\angle A=\frac{180^\circ-\angle A_1}{2},\qquad \angle B=\frac{180^\circ-\angle B_1}{2},\qquad \angle C=\frac{180^\circ-\angle C_1}{2}.$$

Подставим данные:

$$\angle A=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ,$$

$$\angle B=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ,$$

$$\angle C=\frac{180^\circ-30^\circ}{2}=75^\circ.$$

Проверка: $$45^\circ+60^\circ+75^\circ=180^\circ$$.

Ответ

$$45^\circ,\ 60^\circ,\ 75^\circ.$$