Упр.7 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что все прямые, не проходящие через точку $$M$$ и пересекающие данные на рис. 9 прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку $$M$$?
Возьмём две пересекающиеся прямые $$a$$ и $$b$$, которые пересекаются в точке $$M$$. Пусть $$c$$ — любая прямая, не проходящая через точку $$M$$ и пересекающая обе прямые $$a$$ и $$b$$ в точках $$K$$ и $$L$$ соответственно.
Точки $$M$$, $$K$$ и $$L$$ не лежат на одной прямой, значит, через них проходит единственная плоскость. Обозначим её $$\alpha$$.
Так как $$M$$ и $$L$$ принадлежат плоскости $$\alpha$$, а прямая $$b$$ проходит через эти точки, то $$b \subset \alpha$$. Аналогично, из того что $$M$$ и $$K$$ принадлежат плоскости $$\alpha$$, следует $$a \subset \alpha$$.
Следовательно, любая прямая $$c$$, пересекающая обе прямые $$a$$ и $$b$$ и не проходящая через $$M$$, лежит в той же плоскости $$\alpha$$.
Теперь рассмотрим все прямые, проходящие через точку $$M$$. Если бы все они лежали в одной плоскости, то через точку $$M$$ проходила бы только одна плоскость, содержащая обе прямые $$a$$ и $$b$$. Но через точку $$M$$ можно провести бесконечно много прямых, и они не обязаны лежать в одной плоскости.
Например, если взять прямую $$l_3$$, проходящую через $$M$$ и не принадлежащую плоскости $$\alpha$$, то она не будет лежать в одной плоскости с прямыми $$a$$ и $$b$$.
Ответ: все прямые, не проходящие через $$M$$ и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости; все прямые, проходящие через $$M$$, в одной плоскости не лежат.
