Упр.697 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан прямоугольный параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$, в котором $$AB=1$$, $$BC=CC_1=2$$. Вычислите угол между векторами $$\overrightarrow{DB_1}$$ и $$\overrightarrow{BC_1}$$.

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $$A$$, а оси направим вдоль рёбер параллелепипеда. Тогда

$$A(0,0,0),\quad B(1,0,0),\quad C(1,2,0),\quad D(0,2,0),$$

$$A_1(0,0,2),\quad B_1(1,0,2),\quad C_1(1,2,2),\quad D_1(0,2,2).$$

Найдём координаты векторов:

$$\overrightarrow{DB_1}=(1,-2,2),\qquad \overrightarrow{BC_1}=(0,2,2).$$

Скалярное произведение этих векторов равно

$$\overrightarrow{DB_1}\cdot \overrightarrow{BC_1}=1\cdot 0+(-2)\cdot 2+2\cdot 2=0.$$

Тогда

$$\cos \angle \bigl(\overrightarrow{DB_1},\overrightarrow{BC_1}\bigr)=\frac{\overrightarrow{DB_1}\cdot \overrightarrow{BC_1}}{|\overrightarrow{DB_1}|\cdot |\overrightarrow{BC_1}|}=0,$$

значит, угол между векторами равен

$$90^\circ.$$

Ответ: $$90^\circ$$.